A SZIMMETRIA MATEMATIKAI FOGALMÁNAK TÖRTÉNETE

A SZIMMETRIA MATEMATIKAI FOGALMÁNAK TÖRTÉNETE

Láttuk, hogy többféleképpen el lehetett volna jutni a szennyezés­mentes energiatermelő gépek felfedezéséhez. Orffyreus kész szerke­zetének elterjedését butaság és irigység akadályozta meg. Itt a mű­ködő, létező gyakorlatból elindulva juthattunk volna tovább a je­lenség fizikai megértése felé. Egy másik utat kínált a fizika, ami az ismert jelenségek elemzésével, a szimmetria fizikai fogalmának megértésével 838b16i vihetett volna el minket az ilyen szerkezetekhez. De láttuk Faraday és Oersted példáján, hogy abban a korban a szimmet­ria ismerete még gyerekcipőben sem járt.

Most egy harmadik utat veszünk szemügyre, s ez a matematika útja. Ez sem könnyebb, ez sem gyorsabb, ez sem egyszerűbb, mint az előző kettő, mégis talán ezen az úton ért el a tudomány a lehető legközelebb az energia mint szimmetria fogalmának megértéséhez, itt már csak egy lépésnyi tá­volság választotta el a megértést a gyakorlattól. Ám ahhoz, hogy idáig eljussunk, sokkal korábbról kell kezdenünk. Látjuk majd, hogy a matematikusok munkája, botlásai és eredményei, ugyanolyan em­beriek, ugyanúgy tévedésekkel vannak teli, mint az előző két út.

GALOIS ÉLETE

Történeteink első szereplője, aki a szimmetria megértésében a döntő lépést megtette, egy fiatal francia férfi, Evariste Galois. Az ő élete legalább olyan drámai, mint a tiltott találmányok feltalálóinak sorsa. május 30-án, a 21 éves Galois egy ostoba nőügy miatt párbajba keveredett

A 21 éves Galois párbajban halt meg. Évtizedekig kellett várni, mire meg­értették eredményeit.

(Gyulai Líviusz grafikája)

és lepuffantották, mint egy kutyát. A huszonegy éves fiút aki jól ismert forradalmár volt nemrég engedték ki a börtönből, ezért az is felmerült, hogy esetleg a rendőrség provokálta ki a párbajt, így akarván megszabadulni kellemetlen politikai lá­zításaitól. Halála előtt két levelet adott fel, amelyben leírta eredmé­nyeit. Az egyik Louis Cauchynak szólt, a másik Denise Poissonnak. Poisson, aki máig is ismert és elismert jó matematikus, nem értette az egész levél témáját és visszaküldte a szerzőnek. Cauchy viszont nem is válaszolt. Galois ezt politikai okokra vezette vissza, úgy gon­dolta, hogy Cauchy konzervatív lévén szándékosan dobta vissza cik­két, politikai ellenszenv miatt. Cauchy viszont valószínűleg el sem olvasta a levelet, hiszen elhagyta Franciaországot, királypárti nézetei miatt távoznia kellett. Így aztán, amikor az 1860-as években kiadták összegyűjtött műveit, a kor egyik fontos matematikusa, Camille Jor­dan vette észre levelei között Galois munkáját, ami harminc éve po­rosodott, és soha senki se olvasta. Ő már képes volt megérteni jelen­tőségét. Ekkorra már a matematikusok értették azokat a fogalmakat, amelyeket annak idején a forró fejű, fiatal matematikus megfogal­mazott. Galois cikke az algebrai egyenletek gyökeivel foglalkozott, de nem is az eredmények, hanem az eredményekhez vezető út, a módszer, a megközelítés volt egészen újszerű a munkájában.

Az algebrai egyenletek megoldásánál az a fontos kérdés, hogy hanyadrendű egyenleteknek van, és milyen megoldása. Ezzel idesto­va egy évezrede foglalkoztak, és számos fontos munka született már Galois cikke

EVARISTE GALOIS

Igazi zseni, a csoport fogalmának megalkotója. Fiatalon párbajban halt meg.

előtt is. Európában az 1200-as évekig nem fejlődött a matematika, úgy gondolták, hogy a görögöket, az asszírokat és az arabokat nem is lehet felülmúlni. Csak ekkor, ez után indult meg Itá­liában némi fejlődés, ami az 1500-as, 1600-as években Cardano könyvének publikálása után gyorsult föl. Ezután már ismert szerep­lőink, Newton, Leibniz, a Bernoulli-család, Euler valamint Joseph Louis Lagrange munkássága jelentett igen komoly előrelépést.

Galois éleslátása azonban minden elődjén túltett. Munkája a "szimmetria fokán a szimmetrikusság mértékén alapult. A II/4. áb­rán látszik, hogy egyes algebrai egyenletek gyökei milyen mérték­ben tekinthetők szimmetrikusnak vagy nem szimmetrikusnak. Az a. ábrán látszik például, hogy az

x⁵ - 1 = 0

egyenlet gyökei egy körön helyezkednek el, és ezek szimmetriku­sabbak, mint például az

x⁵ - x⁴ + x³ + x² + 2 = 0

egyenlet gyökei; melyeket a b. ábrán látunk, és ez utóbbiak még mindig szimmetrikusabbak, mint a következő egyenlet gyökei:

2x⁵ - 15 x⁴ + 29 x³ + 6x² - 40x = 0

Ez utóbbinak a gyökei -l, és 4. A szimmetrikusság mértékét oly módon állapítjuk meg, hogy hányféle tükrözéssel, elforgatással kapjuk vissza ugyanazt az alakzatot. Így tehát egy négyzet szimmetrikusabb, mint

II/4. ábra: Néhány algebrai egyenlet gyökeinek ábrázolása komplex síkon. A gyökök elhelyezkedésénél jól láthatóak az eltérő szimmetriák.

egy egyenlő szárú trapéz, és az szimmetrikusabb, mint egy teljesen általános négyzet. Galois ér­deme pontosan az volt, hogy felismerte és szisztematikusan meg­vizsgálta ezeket a relációkat. Galois minden egyes egyenletet aszerint értékelt, csoportosított, hogy az egyenlet gyökei mikor maradnak változatlanok a transzformációk után. Galois ezeket az egyenlet csoportjának nevezte, ma már ezt az egyenletek Galois­csoportjának nevezik. A legkisebb csoport persze az azonos per­mutáció, amikor önmagához jutunk vissza. Az egyenletek legki­sebb csoportját azok az egyenletek alkotják, ahol a megoldások mindig racionális számok formájában jelentkeznek. Egy nagyobb csoportot azok az egyenletek adnak, ahol irracionális a gyökök ér-

téke, és még nagyobb csoportot ad a komplex gyökökkel ren­delkező egyenletek serege. Nemcsak véges, hanem végtelen cso­portokkal is foglalkozott Galois, ő vezette be a komplex mező fo­galmát, mely eredetileg Lagrange munkáiból indult el.

Joggal tekinthetjük tehát Galois munkásságát a csoportelmélet, a szimmetria első igazi és átfogó megalapozásának. Ő volt az első, aki már megkülönböztette a véges számú elemet tartalmazó szimmetri­ák, azaz a diszkrét szimmetriák csoportját a végtelen számú elemtől. A csoportelmélet a matematika egy nagyon jellegzetes és fontos fo­galma lett, a szimmetriák a geometriai tulajdonságok leírásában nél­külözhetetlen fogalommá váltak. A későbbiek során a norvég Sophus Lie munkássága pedig a végtelen elemet tartalmazó, azaz a folyamatos szimmetriák felé nyitotta meg a gondolkodás útját.

A diszkrét szimmetriák, szimmetriacsoportok fogalma nemcsak a kris­tályfizikában, hanem a molekulák elrendezésében, térbeli struktúrá­juk, felépítésük osztályozásában is igen fontos lett. A diszkrét szim­metriák és szimmetriacsoportok írják le egy-egy bonyolult vagy egyszerűbb molekula térbeli elrendezési tulajdonságait, így tehát a sztereokémiában is nélkülözhetetlen segédeszköz lett a csoportel­mélet. Az, hogy egy molekula alakja milyen, azt nemcsak a mole­kulát felépítő atomok száma határozza meg, hanem azoknak az el­rendezése is.

Ugyanolyan számú szén- és hidrogénatomokat például sokféle alakú molekulává lehet összekapcsolni. Ugyanolyan összeté­telű molekulák is többféle verzióban létezhetnek, és olyanok is, me­lyek egymásnak tükörképei, azaz tükörszimmetrikusak egymásra. Ezek a molekulák csak optikai tulajdonságaikban térnek el egymás­tól, a fény polarizációs síkját forgatják el más-más irányba.

Míg az élettelen, szervetlen kémiában nem igazán fontos a tü­körszimmetria kérdése az "élet kémiájában", a szerves kémiában már élet-halál kérdése lehet a molekulák térbeli elrendezésének, szimmetriájának problémája. (Sokan hallottak például az úgyne­vezett Contergan nevű gyógyszer esetéről, melynek szedése nyo­mán sok kismama torzszülöttet hozott a világra. Itt is az volt a probléma, hogy a gyógyszer hatóanyaga tükörszimmetrikus for­mában is megjelent, és ez okozta a fejlődési rendellenességeket. Az élet nem engedi meg a tükörszimmetrikus, de egyébként azo­nos struktúrájú molekulák létét, vagy a jobb- vagy a balcsavar az, ami az élővilágban megengedett.)

Visszatérve a szimmetriacsoportokhoz, ma négy nagyon egysze­rű tulajdonságot várunk el egy-egy csoporttól. Azt várjuk, hogy asszociatív legyen, legyen egy egységeleme, ami önmagába viszi vissza az alakzatot, elvárjuk, hogy legyen egy inverz művelet, és utoljára azt, hogy létezzenek kommutatív, azaz felcserélhető szim­metriaműveletek. Ez alatt például azt érijük, hogy mindegy milyen sorrendben következik két művelet, az eredmény ugyanaz. Ez az eset fordul elő például, hogyha egy egyenes mentén két lépést lé­pünk előre és egyet hátra, vagy először egyet hátra és kettőt előre. Ebben az esetben felcserélhetők a műveletek, ezeket nevezzük abe­li csoportoknak Niels Henrik Abel norvég matematikus emlékére.