online kép - Fájl  tubefájl feltöltés file feltöltés - adja hozzá a fájlokat onlinefedezze fel a legújabb online dokumentumokKapcsolat
  
 

Letöltheto dokumentumok, programok, törvények, tervezetek, javaslatok, egyéb hasznos információk, receptek - Fájl kiterjesztések - fajltube.com

Online dokumentumok - kep
  

Végtelen szamsorozatok és sorok, azok tulajdonsagai. A konvergencia fogalma. Nevezetes hatarértékek

matematika



felso sarok

egyéb tételek

jobb felso sarok
 
Vizsga matek
Relaciós algebra, relaciós teljesség
Konverzió A Szamrendszerek Között
Pénzügyi szamítasok
Vektorok. Szakaszok a koordinatasíkon
Amit a törtekröl tudni kell
Szamrendszerek
Végtelen szamsorozatok és sorok, azok tulajdonsagai. A konvergencia fogalma. Nevezetes hatarértékek
 
bal also sarok   jobb also sarok

Végtelen számsorozatok és sorok, azok tulajdonságai.
A konvergencia fogalma. Nevezetes határértékek



I. Végtelen számsorozatok és sorok, azok tulajdonságai.



Legyen A véges vagy végtelen számhalmaz, N legyen természetes számokból álló halmaz. Ha N egyértelműen leképezhető az 353e41d A halmazra, azaz N minden eleméhez hozzárendeljük valamely , akkor az A halmaz elemei számsorozatot alkotnak. a hozzárendelt elem. A sorozat szokásos jelölése: , pedig a sorozat elemeit jelöljük. Ha N véges, a sorozatot végesnek, ellenesetben a sorozatot végtelennek nevezzük.


Monoton sorozatok:
monoton növekvő, ha
monoton csökkenő, ha
szigorúan monoton növekvő, ha
szigorúan monoton csökkenő, ha


Egy sorozat korlátos, ha    
egy sorozat felülről korlátos, ha
egy sorozat alulról korlátos, ha
a felső korlátok közül a legkisebb: felső határ,
az alsó korlátok közül a legnagyobb: alsó határ.
Megjegyzés: korlátos sorozat nem feltétlenül monoton, monoton sorozat nem feltétlenül korlátos


Tekintsük most az
(ahol szám)
végtelen tagú összeget, más szóval végtelen numerikus sort.
Jelöljük:





ezzel kölcsönösen egyértelműen megfeleltettük egymásnak az
végtelen numerikus sort és az végtelen számsorozatot. Ezért a számsorozatokra érvényes tulajdonságok érvényesek lesznek numerikus sorokra is, hiszen a tulajdonságokat mindig át tudjuk fogalmazni numerikus sorokra a fenti megfeleltetés alapján.


Egy sorozat torlódási helye (pontja) olyan szám, amelynek környezetében a számsorozatnak végtelen sok eleme található



IV. A konvergencia fogalma. Nevezetes határértékek



Ha a végtelen számsorozatnak csak egy torlódási helye (pontja) van, akkor azt a sorozat határértékének nevezzük,
jele: és egy ilyen sorozatot konvergensnek nevezünk.


Egy sorozatnak azt a tulajdonságát, hogy konvergens az alábbi két, egymással egyenértékű definícióval adjuk meg


Def: Az sorozat konvergens, ha létezik olyan A szám, hogy bármely -hoz megadható olyan küszöbszám, hogy , mihelyst .


Def: Az sorozat konvergens, ha létezik olyan A szám, hogy A bármely környezetébe a sorozatnak véges sok eleme kivételével minden eleme beletartozik.

Néhány fontos tétel:
monoton növekvő (csökkenő) felülről (alulról) korlátos sorozat konvergens;

ha

,

akkor

,

,

;

ha



akkor




Néhány nevezetes határérték:

,

,
,
,
,


Példák:


Legyen adott az sorozat a következő módon: ha .
Ekkor: , , stb. azaz a sorozat minden tagja pozitív.

Monotonitás vizsgálata:









Ez utóbbi kifejezés minden értékre negatív, hiszen számlálójában csupa negatív szám áll, nevezője pedig két pozitív szám szorzata. Azt kaptuk tehát, hogy minden értékre , azaz minden értékre . Ez pedig azt jelenti, hogy a vizsgált sorozat szigorúan monoton csökkenő. Viszont láttuk, hogy a sorozat minden tagja pozitív, tehát monoton csökkenő, alulról korlátos sorozattal állunk szemben, ami a korábban elhangzott tétel szerint a sorozat konvergens voltát jelenti. Vizsgáljuk meg a határértéket:





Azt a tényt, hogy a sorozat nullához tart, sejteni lehet néhány első tagjának megvizsgálásával is (a nevező gyorsabban nő, mint a számláló), és be lehet látni a definíció alapján is:







Ez a tört pozitív, ha számlálója pozitív, azaz:

Ez pedig igaz, ha n nagyobb, mint

egész része. Lássuk most mennyi lesz a küszöbindex, ha , azaz a sorozatnak hány db. tagja marad határértéke sugarú környezetén kívül. Ekkor:



azaz



Ez utóbbi teljesül, ha n nagyobb, mint



Tehát a sorozat küszöbindexe 50, azaz az


de



A sorozat első 50 db. tagja marad határértéke sugarú környezetén kívül.















Találat: 2920


Felhasználási feltételek