online kép - Fájl  tubefájl feltöltés file feltöltés - adja hozzá a fájlokat onlinefedezze fel a legújabb online dokumentumokKapcsolat
  
 

Letöltheto dokumentumok, programok, törvények, tervezetek, javaslatok, egyéb hasznos információk, receptek - Fájl kiterjesztések - fajltube.com

 

Online dokumentumok - kep
  

Vektorok. Szakaszok a koordinatasíkon

matematika



Fájl küldése e-mail



egyéb tételek

 
Vizsga matek
MATEMATIKA KÖZÉPSZINT
Konverzió A Szamrendszerek Között
Egybevagósagi transzformaciók, szimmetrikus sokszögek.
Osztas és oszthatósagok
Vektorok. Szakaszok a koordinatasíkon
 
 

Vektorok. Szakaszok a koordinátasíkon




I. Fogalmak

Vektor: irányított egyenes szakasz, melyet állása, iránya és hossza jellemez

·   &nbs 313i87d p;   &nbs 313i87d p; Vektor állása azt mutatja, hogy melyik egyenesekkel párhuzamos → egy álláson belül két irány lehetséges

·   &nbs 313i87d p;   &nbs 313i87d p; Vektor hossza: a vektor abszolút értéke |a|=a



·   &nbs 313i87d p;   &nbs 313i87d p; Egy vektor megadható, ha ismerjük állását, irányát és hosszát

·   &nbs 313i87d p;   &nbs 313i87d p; Jelölés: a vektor: aláhúzott kisbetű - a

Kezdő- és végpontja fölé tett nyíllal

Nyomtatásban vastagabb betűtípussal

·   &nbs 313i87d p;   &nbs 313i87d p; Egységvektor abszolút értéke 1

·   &nbs 313i87d p;   &nbs 313i87d p; Derékszögű koordinátarendszerben az x, y és z tengelyek pozitív irányba mutató egységvektor jelei rendre i, j, és k

Nullvektor: kezdő- és végpontja egybeesik

·   &nbs 313i87d p;   &nbs 313i87d p; Abszolút értéke 0

·   &nbs 313i87d p;   &nbs 313i87d p; Iránya tetszőleges

Egyenlő vektorok: nullvektortól különböző vektorok akkor és csak akkor egyenlők, ha irányuk és abszolút értékük megegyezik

Ellentett vektor: ugyanakkora nagyságú, de ellentétes irányú vektor

Helyvektor: derékszögű koordinátarendszerben a P(x;y) pont helyvektora az origóból a pontba mutató vektor




II.

1.   &nbs 313i87d p;   két vektor szöge

két egyállású vektor szöge 0°-os, ill. 180°-os, aszerint, hogy a vektorok egyirányúak vagy ellentétes irányúak

két nem egyállású vektor szögét úgy kapjuk meg, hogy azonos pontból indítjuk a vektorokat, s a keletkező kisebb szöget választjuk


2.   &nbs 313i87d p;   ha i az (1;0), j pedig a (0;1) pont helyvektora, akkor a sík bármely a vektora egyértelműen előállítható a = a1i + a2j alakban

(az i és j vektorok lineáris kombinációjaként)




III. Vektorműveletek

1.   &nbs 313i87d p;   vektorok összeadása

ha egy vektor ugyanazt az eltolást hozza létre, mint a-val és b-vel való eltolás egymásutánja, akkor ezt a vektort az a és b összegének nevezzük

jele: a+b

„paralelogramma módszer” (ha a vektorok nem egyállásúak)


két vektor összegét úgy kapom meg, hogy közös kezdőpontból felveszem a két vektort, majd e vektorok végpontjain át párhuzamost húzok a másik vektorral, s az így kapott paralelogramma közös pontjából a szemközti átlóvektort berajzolom



„láncmódszer”


két vektor összegét úgy kapom meg, hogy felveszem az egyik vektort, a végpontjából pedig a másikat. Ekkor az első vektor kezdőpontjából a másik vektor végpontjába mutató vektor az összegvektor


A láncmódszerrel több vektor is összeadható.


A vektorok összeadása kommutatív (felcserélhető: a+b=b+a)

és asszociatív (csoportosítható: (a+b)+c=a+(b+c))

Két vektor összegének koordinátái


a=a1i + a2j

b=b1i + b2j


a+b=(a1+b1)i + (a2+b2)j


Két ellentett vektor összege: nullvektor


2.   &nbs 313i87d p;   két vektor különbsége

ha c=a+b, akkor az a-t a c és b különbségének mondjuk

jele: c-b


a és b különbségén értjük azt a vektort , amit úgy kapunk meg, hogy közös kezdőpontból felveszem a-t és b-t, majd végpontjaikat összekötöm, és a kisebbedő felé irányítom


A vektorok esetén igaz, hogy c-a és a-c egymás ellentettje


két egyenlő vektor különbsége: nullvektor

két vektor különbségének koordinátái


a=a1i + a2j

b=b1i + b2j


a-b=(a1-b1)i + (a2-b2)j


két vektor különbségét a kivonandó vektor -1-gyel való szorzása után a vektorok összegére vezethetjük vissza


3.   &nbs 313i87d p;   vektor számszorosa

Az a λ-szorosán értjük azt a vektort, amelynek hossza az a hosszának | λ|-szorosa, iránya pedig az a irányával megegyező, ellentétes, vagy tetszőleges, attól függően, hogy λ>0; λ<0; λ=0



| λa|=a| λ|

minden vektor egyenlő egységvektorának és abszolút értékének szorzatával

vektor számszorosának koordinátái


a=a1i + a2j

λ valós szám


λa=(a1 λ)i + (a2 λ)j


érvényesek az alábbi azonosságok


αa + βa=(α + β)a

α(βa)=( )a

α(a+b)=αa + αb


4.   &nbs 313i87d p;   két vektor skaláris szorzata

Ha a és b által közbezárt szög γ, akkor az |a|*|b|*cosγ számot az a és b skaláris szorzatának nevezzük

Jele: a*b





a*b=|a|*|b|*cosγ

ha két vektor hajlásszöge 90°, akkor a skaláris szorzatuk 0 (mert cos90°=0)

két egyállású és egyirányú vektor skaláris szorzata az abszolút értékek szorzatával egyenlő (mert cos0°=1)

kommutatív (a*b=b*a)

disztributív ((a+b)c=a*c + b*c)

de! nem asszociatív ((a+b)*ca(b*c))

skaláris szorzat koordinátákkal kifelezve

a=a1i + a2j

b=b1i + b2j


a*b=a1*b1 + a2*b2


tétel: két, koordinátákkal megadott vektor skaláris szorzata a megfelelő komponensek szorzatösszegével egyenlő

a*b=a1*b1 + a2*b2

bizonyítás:


a=a1i + a2j

b=b1i + b2j


a*b = (a1i + a2j)(b1i + b2j) = a1*b1i2 + a1*b2ij + a2*b1ij + a2*b2j2 =


i2=1; j2=1

i és j hajlásszöge 90°

=a1*b1 + a2*b2

skaláris szorzatunk 0

5.   &nbs 313i87d p;   vektorok vektoriális szorzata

Az a és b vektoriális szorzata egy olyan c vektor, melynek

abszolút értéke a vektorokkal szerkesztett paralelogramma területének mértékszámával egyenlő

iránya mindkét vektorra merőleges

irányítása olyan, hogy a, b és c ilyen sorrendben jobbsodrású rendszert alkotnak („jobbkéz-szabály”)

jele: a x b

|c| = |a×b| = |a|*|b|*sinγ


Tétel: két nem nullvektor párhuzamossági feltétele: a×b

Biz.: a definícióból következik, mert sin0°=0


Tétel: ha két vektor merőleges egymásra, akkor a vektoriális szorzatuk abszolút értéke  |a×b| = |a|*|b|

Biz.: a definícióból következik, mert sin90°=1


tulajdonságai

nem kommutatív: a×b = -(a×b)

disztributív: a x (b+c) = (a x b) + (a x c)







IV.

1.   &nbs 313i87d p;   a vektor felbontása összetevőkre

egyértelmű vektorfelbontás tétele:

ha a v, az i és a j olyan, egy síkban lévő vektorok, hogy az i és j nem egyállású, akkor a v egyértelműen bontható fel két olyan vektor összegére, amelyek egyike az i-ral, másik a j-ral egyállású

v = v1i + v2j

Az i és a j merőleges egységvektorok egy bázisrendszert alkotnak. Ezek együtthatóit nevezzük koordinátáknak.

2.   &nbs 313i87d p;   vektor hossza




|a| = √a12 + a22



3.   &nbs 313i87d p;   a vektor 90°-os elforgatottja

Ha egy vektort 90°-kal elforgatunk, akkor a koordinátái felcserélődnek és az egyiknek az előjele megváltozik.

v(v1;v2)

+90°-os elforgatottja: (-v2;v1)

-90°-os elforgatottja: (v2;-v1)

4.   &nbs 313i87d p;   két vektor hajlásszöge

a*b = |a|*|b|cosγ

a*b = a1*b1 + a2*b2

|a|*|b|cosγ = a1*b1 + a2*b2

Ha két vektor koordinátáival adott, akkor a hajlásszögük meghatározható.




V. Vektorok a koordinátasíkon

1.   &nbs 313i87d p;   szakasz felezőpontja koordinátái 2 végpontjának a megfelelő koordinátáinak az összegének a fele


Biz.:

Adott az A(a1;a2) és B(b1;b2) pontok által meghatározott szakasz.

Felezőpontja: F(x;y)

Ha az A, B és F pontok helyvektorai rendre a, b és f, akkor a vektorok összegezésének paralelogramma szabály alapján - felhasználva, hogy a paralelogramma átlói felezik egymást – adódik, hogy: f = (a+b)/2

Vektorok összegének koordinátáira vonatkozó összefüggések alapján koordinátákkal:


x = (a1+b1)/2 y = (a2+b2)/2


2.   &nbs 313i87d p;   szakaszt adott arányban osztó pont koordinátái


Adott az A(a1;a2) és B(b1;b2) pontok által meghatározott szakasz. R(x;y) pontjának koordinátáit keressük, amelyre igaz, hogy AR : RB = p : q.

Legyenek A, B, R pontok helyvektorai rendre a, b és r.

Mivel: AR / RB = p / q ezért



Ezt felhasználva:


r = a + = a + = a +

Így az R pont koordinátái:






Szakasz harmadoló pontjának helyvektora:

A harmadoló ponttól számítva a szakasz közelebbi végpontjának helyvektorának 2/3-a + a szakasz távolabbi végpontjának 1/3-a.













VI. Alkalmazások

1.   &nbs 313i87d p;   Koszinusztétel vektoros bizonyítása

Az ABC háromszög oldalai legyenek AB = c; CB = a; CA = b

→ háromszögben: c = ab

Négyzetre emelve: c2 = a2 + b2 – 2ab

Skaláris szorzat definíciója alapján: c2 = a2 + b2 – 2|a|*|b|cosγ

Mivel a vektorok skaláris négyzete egyenlő abszolút értékük négyzetével:

c2 = a2 + b2 – 2abcosγ



2.   &nbs 313i87d p;   a háromszög súlypontjának koordinátái

Legyenek az ABC háromszög A(a1;a2), B(b1;b2), C(c1;c2) csúcspontjainak helyvektorai rendre a, b és c

Ha F az AB szakasz felezőpontja, akkor az F pont f helyvektora

Ha a CF szakasz F-hez közelebbi S harmadoló pontjának helyvektora s, akkor

Mivel a fenti kifejezés független attól, hogy melyik oldal megfelelő felezőpontjából indulunk ki, ezért mindhárom súlyvonal a megfelelő csúcstól távolabbi harmadoló pontja ugyanaz az S pont. Ezzel bebizonyítottuk azt is, hogy a háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást.


: 2967