online kép - Fájl  tubefájl feltöltés file feltöltés - adja hozzá a fájlokat onlinefedezze fel a legújabb online dokumentumokKapcsolat
  
 

Letöltheto dokumentumok, programok, törvények, tervezetek, javaslatok, egyéb hasznos információk, receptek - Fájl kiterjesztések - fajltube.com

Online dokumentumok - kep
  

A kör és részei, kör és egyenes kölcsönös helyzete (elemi geometriai targyalasban), kerületi szög, középponti szög

matematika



felso sarok

egyéb tételek

jobb felso sarok
 
Vizsga matek
Szamsorozatok és tulajdonsagaik (korlatossag, monotonitas, konvergencia), nevezetes szamsorozatok
MATEMATIKA KÖZÉPSZINT
Konverzió A Szamrendszerek Között
Egybevagósagi transzformaciók, szimmetrikus sokszögek.
Osztas és oszthatósagok
Amit a törtekröl tudni kell
A kör és részei, kör és egyenes kölcsönös helyzete (elemi geometriai targyalasban), kerületi szög, középponti szög
 
bal also sarok   jobb also sarok

A kör és részei, kör és egyenes kölcsönös helyzete (elemi geometriai tárgyalásban), kerületi szög, középponti szög

A kör és részei

Def.: Egy adott ponttól egyenlő távolságra levő pontok halmazát a síkon körnek (körvonalnak) nevezzük.

Néhány elnevezés:[1]

Körív: A kör(vonala)t két pontja két körívre bontja.

Körlap: Adott ponttól adott távolságnál nem n 131i82b agyobb/kisebb távolságra levő pontok halmazát a síkon zárt/nyílt körlapnak nevezzük.

Körcikk: A körlapot két sugara két körcikkre bontja.

Körgyűrű: A sík azon pontjainak halmaza melyek két egyközepű (koncentrikus) körvonal között helyezkednek el. (Egy adott ponttól r-nél nem kisebb és R-nél nem nagyobb távolságra lévő pontok halmaza a síkon.)

Kör és egyenes kölcsönös helyzetei

1. Ha a körnek és az egyenesnek nincs metszéspontja:

2. Ha a körnek és az egyenesnek egy metszéspontja van:

Érintő: A kör érintője olyan egyenes, amelynek csak egy közös pontja van a körrel és az összes többi pontja külső pont.

3. Ha a körnek és az egyenesnek két metszéspontja van:

Szelő: Olyan egyenes, amelynek két közös pontja van a körrel.

Húr: A szelő körrel való metszéspontjai közé eső szakasza.

Körszelet: A körlapot egy szelője két körszeletre bontja.

Tétel: A kört érintő egyenes merőleges az érintési ponthoz húzott sugárra.

Bizonyítás: Indirekt.

Tegyük fel, hogy az állítás nem igaz, az e érintő nem merőleges az E érintési pontban húzott sugárra. A kör O pontjából bocsássunk merőlegest az e érintőre, a merőleges talppontja legyen T. Ekkor az OTE háromszögnek T-nél derékszöge van, és az ezzel szemközti OE oldala a sugár. A háromszögnek az OE = r átfogója, az OT < r befogója lenne. Ez azonban lehetetlen, mert ekkor a T a kör belső pontja lenne. Az e érintőnek nem lehet belső pontja. Így a feltevés hibás, az érintő merőleges az érintési ponthoz húzott sugárra.

Tétel: Körhöz külső pontból húzott érintőszakaszok hossza egyenlő.

Bizonyítás:

Az OQP és az ORP háromszögek egybevágóak, mivel

OR = OQ = r, OP közös és a nagyobbik oldallal szemközti szög egyenlő (derékszög az előző tétel miatt)

A két háromszög egybevágósága miatt RP = QP, vagyis a külső pontból húzott érintő szakaszok hossza egyenlő.

Kerületi és középponti szögek

Def.: Adott egy kör és annak egy AB köríve. Azt a szöget a körben, amelynek csúcsa a kör középpontja, két szára pedig átmegy A, illetve B ponton, az adott körívhez tartozó középponti szögnek nevezzük.

Def.: Adott egy kör és annak egy AB köríve. Azt a szöget a körben, amelynek csúcsa a körvonal AB köríven kívül eső pontja, két szára pedig átmegy A, illetve B ponton, az adott körívhez tartozó kerületi szögnek nevezzük. Ha a szög csúcsa A (B), szárai AB félegyenes (BA félegyenes), illetve az A-beli (B-beli) érintője a körnek, akkor érintőszárú kerületi szögről beszélünk.

Tétel (A kerületi és középponti szögek tétele): Adott körívhez tartozó középponti szög az ugyanahhoz az ívhez tartozó kerületi szög kétszerese.

Bizonyítás A kerületi szöget többféle módon vehetjük fel, épp ezért az egyes esetekre külön bizonyítjuk a tételt.

1. eset: A kerületi szög egyik szára átmegy a kör középpontján.

OP = OB = r tehát az OBP háromszög egyenlő szárú.

Az AOB szög külső szög, O-nál, ezért

2. eset: A PO egyenes az szöget két részre bontja:

OA = OP = OB = r ezért AOP és BOP háromszög is egyenlő szárú.

O-nál lévő két külső szög és , ezért

Abban az esetben amikor homorúszög, ugyanez az eset.

3. eset: A PO egyenessel és szöget hozunk létre:

Az kerületi szög az AC köríven nyugszik, középponti szöge

Az kerületi szög BC köríven, középponti szöge

Így az AB ívhez tartözó középponti szög:

4. eset: Érintőszárú kerületi szög esetén. (A kerületi szög hegyesszög.)

AOB háromszög egyenlő szárú (oldal: r)

Szimmetriatengelye OF egyenes, felezi az középponti szöget.

Az AOF szög szögszárai merőlegesek -ra, ezért AOF szög =

ezért

5. eset: Érintőszárú kerületi szög esetén. (A kerületi szög tompaszög.)

A kérdéses vastagvonalas körív helyett nézzük a vékonyvonalas AB körívet. Az ehhez tartozó kerületi szög: º , a középponti szög: 2

Így az szöghöz tartozó középponti szög: 360º - 2(180º -

6. eset: Ha az érintő szárú kerületi szög 90º, akkor a hozzá tartozó középponti szög 180º, így

Megjegyzés: A tétel egyik esete a Thalész tétel, hisz akkor az ív a félkör, a szakasz az átmérő. A középponti szög 180º, a kerületi szög 90º A Thalész-tétel megfordítása: A kerületi szög 90º, a középponti szög ezért 180º. Így a 90º-al szemközti oldal az átmérő.

Következmény (kerületi szögek tétele): Egy adott ívhez tartozó kerületi szögek egyenlőek.

Tétel: Azon pontok halmaza a síkon, amelyekből a sík egy adott AB szakasza adott szög alatt látszik: két, az AB egyenesre szimmetrikusan elhelyezkedő körív. Ezeket a köríveket látószögköríveknek nevezzük.

Alkalmazások

Fizikában

körmozgás

Matematikában

geometria - háromszögek, négyszögek, sokszögek beírt illetve köréírt köre

statisztikában a kördiagram

Egyéb

kerék

építészet

lemezek (CD)

szép karimás kalap készítése




Ezek megfelelően megfogalmazva ugyancsak lehetnek definíciók!

Találat: 5143


Felhasználási feltételek