online kép - Fájl  tube fájl feltöltés file feltöltés - adja hozzá a fájlokat online fedezze fel a legújabb online dokumentumok Kapcsolat
   
 

Letöltheto dokumentumok, programok, törvények, tervezetek, javaslatok, egyéb hasznos információk, receptek - Fájl kiterjesztések - fajltube.com

 

Online dokumentumok - kep
   
kategória
 

Biológia állatok Fizikai Földrajz Kémia Matematika Növénytan Számítógépes
Filozófia
Gazdaság
Gyógyszer
Irodalom
Menedzsment
Receptek
Vegyes

 
 
 
 













































 
 

A kör és részei, kör és egyenes kölcsönös helyzete (elemi geometriai targyalasban), kerületi szög, középponti szög

matematika

Fájl küldése e-mail Esszé Projekt


egyéb tételek

 
Vizsga matek
Szamsorozatok és tulajdonsagaik (korlatossag, monotonitas, konvergencia), nevezetes szamsorozatok
MATEMATIKA KÖZÉPSZINT
Konverzió A Szamrendszerek Között
Egybevagósagi transzformaciók, szimmetrikus sokszögek.
Osztas és oszthatósagok
Amit a törtekröl tudni kell
A kör és részei, kör és egyenes kölcsönös helyzete (elemi geometriai targyalasban), kerületi szög, középponti szög
 
 

A kör és részei, kör és egyenes kölcsönös helyzete (elemi geometriai tárgyalásban), kerületi szög, középponti szög

A kör és részei

Def.: Egy adott ponttól egyenlő távolságra levő pontok halmazát a síkon körnek (körvonalnak) nevezzük.

Néhány elnevezés:[1]

Körív: A kör(vonala)t két pontja két körívre bontja.

Körlap: Adott ponttól adott távolságnál nem n 131i82b agyobb/kisebb távolságra levő pontok halmazát a síkon zárt/nyílt körlapnak nevezzük.



Körcikk: A körlapot két sugara két körcikkre bontja.

Körgyűrű: A sík azon pontjainak halmaza melyek két egyközepű (koncentrikus) körvonal között helyezkednek el. (Egy adott ponttól r-nél nem kisebb és R-nél nem nagyobb távolságra lévő pontok halmaza a síkon.)

Kör és egyenes kölcsönös helyzetei

1. Ha a körnek és az egyenesnek nincs metszéspontja:

2. Ha a körnek és az egyenesnek egy metszéspontja van:


Érintő: A kör érintője olyan egyenes, amelynek csak egy közös pontja van a körrel és az összes többi pontja külső pont.


3. Ha a körnek és az egyenesnek két metszéspontja van:


Szelő: Olyan egyenes, amelynek két közös pontja van a körrel.

Húr: A szelő körrel való metszéspontjai közé eső szakasza.

Körszelet: A körlapot egy szelője két körszeletre bontja.


Tétel: A kört érintő egyenes merőleges az érintési ponthoz húzott sugárra.


Bizonyítás: Indirekt.

Tegyük fel, hogy az állítás nem igaz, az e érintő nem merőleges az E érintési pontban húzott sugárra. A kör O pontjából bocsássunk merőlegest az e érintőre, a merőleges talppontja legyen T. Ekkor az OTE háromszögnek T-nél derékszöge van, és az ezzel szemközti OE oldala a sugár. A háromszögnek az OE = r átfogója, az OT < r befogója lenne. Ez azonban lehetetlen, mert ekkor a T a kör belső pontja lenne. Az e érintőnek nem lehet belső pontja. Így a feltevés hibás, az érintő merőleges az érintési ponthoz húzott sugárra.


Tétel: Körhöz külső pontból húzott érintőszakaszok hossza egyenlő.


Bizonyítás:

Az OQP és az ORP háromszögek egybevágóak, mivel

OR = OQ = r, OP közös és a nagyobbik oldallal szemközti szög egyenlő (derékszög az előző tétel miatt)

A két háromszög egybevágósága miatt RP = QP, vagyis a külső pontból húzott érintő szakaszok hossza egyenlő.


Kerületi és középponti szögek

Def.: Adott egy kör és annak egy AB köríve. Azt a szöget a körben, amelynek csúcsa a kör középpontja, két szára pedig átmegy A, illetve B ponton, az adott körívhez tartozó középponti szögnek nevezzük.

Def.: Adott egy kör és annak egy AB köríve. Azt a szöget a körben, amelynek csúcsa a körvonal AB köríven kívül eső pontja, két szára pedig átmegy A, illetve B ponton, az adott körívhez tartozó kerületi szögnek nevezzük. Ha a szög csúcsa A (B), szárai AB félegyenes (BA félegyenes), illetve az A-beli (B-beli) érintője a körnek, akkor érintőszárú kerületi szögről beszélünk.

Tétel (A kerületi és középponti szögek tétele): Adott körívhez tartozó középponti szög az ugyanahhoz az ívhez tartozó kerületi szög kétszerese.

Bizonyítás: A kerületi szöget többféle módon vehetjük fel, épp ezért az egyes esetekre külön bizonyítjuk a tételt.

1. eset: A kerületi szög egyik szára átmegy a kör középpontján.


OP = OB = r tehát az OBP háromszög egyenlő szárú.

Az AOB szög külső szög, O-nál, ezért ω = 2α.


2. eset: A PO egyenes az α szöget két részre bontja: α1 + α2 = α


OA = OP = OB = r ezért AOP és BOP háromszög is egyenlő szárú.

O-nál lévő két külső szög 1 és 2, ezért ω = 1 + 2 =

Abban az esetben amikor ω homorúszög, ugyanez az eset.


3. eset: A PO egyenessel α1 és α2 szöget hozunk létre: α1α2 = α



Az α1 kerületi szög az AC köríven nyugszik, középponti szöge 1.

Az α2 kerületi szög BC köríven, középponti szöge 2.

Így az AB ívhez tartözó középponti szög: ω = 1 - 2 =


4. eset: Érintőszárú kerületi szög esetén. (A kerületi szög hegyesszög.)


AOB háromszög egyenlő szárú (oldal: r)

Szimmetriatengelye OF egyenes, felezi az ω középponti szöget.

Az AOF szög szögszárai merőlegesek α-ra, ezért AOF szög = α,

ezért ω = 2α.


5. eset: Érintőszárú kerületi szög esetén. (A kerületi szög tompaszög.)


A kérdéses vastagvonalas körív helyett nézzük a vékonyvonalas AB körívet. Az ehhez tartozó kerületi szög: α' = 180º α, a középponti szög: 2α'.

Így az α szöghöz tartozó középponti szög: ω = 360º – 2(180º – α) = 2α


6. eset: Ha az érintő szárú kerületi szög 90º, akkor a hozzá tartozó középponti szög 180º, így ω = 2α.

Megjegyzés: A tétel egyik esete a Thalész tétel, hisz akkor az ív a félkör, a szakasz az átmérő. A középponti szög 180º, a kerületi szög 90º. A Thalész-tétel megfordítása: A kerületi szög 90º, a középponti szög ezért 180º. Így a 90º-al szemközti oldal az átmérő.

Következmény (kerületi szögek tétele): Egy adott ívhez tartozó kerületi szögek egyenlőek.

Tétel: Azon pontok halmaza a síkon, amelyekből a sík egy adott AB szakasza adott α szög alatt látszik: két, az AB egyenesre szimmetrikusan elhelyezkedő körív. Ezeket a köríveket látószögköríveknek nevezzük.

Alkalmazások

Fizikában

·         körmozgás

Matematikában

·         geometria – háromszögek, négyszögek, sokszögek beírt illetve köréírt köre

·         statisztikában a kördiagram

Egyéb

·         kerék

·         építészet

·         lemezek (CD)

·         szép karimás kalap készítése



[1] Ezek megfelelően megfogalmazva ugyancsak lehetnek definíciók!

Találat: 3268