online kép - Fájl  tubefájl feltöltés file feltöltés - adja hozzá a fájlokat onlinefedezze fel a legújabb online dokumentumokKapcsolat
  
 

Letöltheto dokumentumok, programok, törvények, tervezetek, javaslatok, egyéb hasznos információk, receptek - Fájl kiterjesztések - fajltube.com

 

Online dokumentumok - kep
  

LINEÁRIS ALGEBRA

matematika

Fájl küldése e-mail



egyéb tételek

 
Konverzió A Szamrendszerek Között
Egybevagósagi transzformaciók, szimmetrikus sokszögek.
Osztas és oszthatósagok
A kör és részei, kör és egyenes kölcsönös helyzete (elemi geometriai targyalasban), kerületi szög, középponti szög
LINEÁRIS ALGEBRA
 
 

LINEÁRIS ALGEBRA


Vektorok


Vektor fogalma


Vannak olyan mennyiségek, melyeknek a nagysága a fontos (út, tömeg, munka, stb.). Ezek a skalár mennyiségek.


Vannak olyan mennyiségek, melyeknek a nagyságukon kívül az irányuk (irányítottságuk) is fontos (sebesség, erő, stb.). Új fogalom vektormennyi-ségek.




Irányított szakaszokat vektoroknak nevezünk.


A vektor ismert, ha ismerjük:

nagyságát: hosszát. 2 km

irányát: É-D

irányítottságát: D-ről É-ra mutat.


Jelölése:         írásban (a

a nyomtatásban.




A v vektor hosszát a v vektor abszolút értékének nevezzük és │v│-vel jelöljük (v-vel, ha a szövegből kiderül).


Azt a vektort, melynek abszolút értéke 0, nullvektornak nevezzük és 0-val jelöljük.


Azt a vektort, melynek hossza egységnyi, egységvektornak nevezzük és ea val jelöljük (a írányú egységvektor).


Két vektor, a és b akkor egyenlő, ha van olyan párhuzamos eltolás amely-nél fedésbe hozhatók:





egyenlők nem egyenlők


Megfeleltetés a sík (tér) pontjai és a vektorok között:


Egyértelmű megfeleltetés van a sík pontjainak halmaza (R2) és a vektor között:

egyenes

sík

tér



Műveletek vektorokkal


Vektorok összeadása


Az a és a b vektorok összegén azt az a+b vektort értjük, amely az a kezdőpontjából a b végpontjába mutat.

Az a és b szerepe felcserélhető


Paralellogramma szabály


Több vektorra is értelmezhető



Tulajdonságai:             a+b=b+a kommutatív

(a+b)+c=a+(b+c) asszociatív

a+0=a nullvektor

a+(-a)=0 az ellentettje



Vektor szorzása skalárral


Adott a vektor és λ skalár szám () szorzatán azt a vektort értjük, melynek hossza:

iránya párhuzamos a-val

irányítottsága a előjelétől függ: ha + azonos

ha – ellentétes a-val.


Ha     >1             nyújtás

<1, de >0 zsugorítás

tükrözés


Bármely a vektor előállítható alakban, ahol az az a irányú egységvektor.


Két vektor (a és b) akkor van egy egyenesen, ha létezik egy amelyre a= b.


Vektorok kivonása (különbsége)


Az a és a b vektorok különbségén azt az a-b vektort értjük, melyet hozzá-adva b-hez a-t kapunk.


a-b b-a nem kommutatív







Vektorok lineáris kombinációja


Legyen és , akkor a c= a b vektort az a és a b vektorok lineáris kombinációjának nevezzük.


kombináció: az összeadás és a skalárral való szorzás kombinálása.

lineáris: lineáris tér elemei (lsd.később).



Nézzük megfordítva is: mikor állítható elő egy c vektor adott a és b vektorok lineáris kombinációjaként?


Akkor, ha az a nem párhuzamos a b-vel. Ez azt jelenti, hogy


a b ahol


akkor és csak akkor, ha . Ezen feltételnek eleget tevő vektorokat lineárisan független vektoroknak nevezzük. Ellenkező esetben lineárisan összefüggők.


Bizonyítás: legyen pl. α≠0. Ebben az esetben az előző alakba írható, azaz b párhuzamos a-val.

Háromdimenziós vektoroknál a lineáris függetlenség feltétele:


a b + c akkor és csak akkor, ha .


Lineáris összefüggés esetén a három vektor egy síkban van.


Lineárisan független vektorok segítségével a (tér esetén három, a sík esetén kettő) bármelyik v vektora felírható, mint azok lineáris kombinációi. Ezeket a lineárisan független vektorokat bázisvektoroknak nevezzük.


Bármely három (sík esetén kettő) lineárisan független vektor lehet bázis-vektor. Célszerű azonban úgy megválasztani azokat, hogy

Ortonormált bázistér

 
Legyenek egymásra merőlegesek (ortogonálisak),

Legyenek egységvektorok (normáltak).


Az első választás a skalárszorzat kiszámítását egyszerűsíti, a második lehetővé teszi a vektorok koordinátákkal történő megadását.

Az i, j, k az ortonormált bázisvektorok. Jobbsodrású rendszert alkotnak.


A v vektor felírása:                         v = xi yj zk


Koordinátákkal való megadás:      v=(x;y;z


A koordinátákkal való felírás lényegesen megkönnyíti a műveletek elvégzését.


Műveletek koordinátákkal megadott vektorokkal


Legyen a=(a1 a2 a3 és b=(b1 b2 b3;), valamint


1. Összeadás:


a+b a1i a2j a3k b1i b2j b3k a1+b1)i+ a2+b2)j+ a3+b3)k,


mivel az összeadás asszociatív és disztributív. Két vektort úgy adunk össze (vonunk ki), hogy megfelelő koordinátáikat összeadjuk (kivonjuk).


Skalárral való szorzás


a a1i a2j a3k λa1)i+ λa2)j+ λa3)k


a koordinátákat meg kell szorozni.


3. Vektor szorzása vektorral


Skalár(is) szorzat


Fizikai példa a munka:



amit felírhatunk L=P∙s alakban és az erőnek valamint az útnak (valójában az elmozdulásnak), mint a két vektornak skalár(is) szorzatának nevezünk.


Az a és a b vektorok skalár(is) szorzatán az számot értjük, ahol az a két vektor hajlásszöge.


negatív

pozitív

nulla.


Két vektor skalárszorzata akkor és csak akkor 0, ha azok merőlegesek egymásra.


A skalárszorzat tulajdonságai:

a∙b=b∙a kommutatív

a∙(b+c)=a∙b+a∙c          disztributív

a∙b∙c nincs értelme


A skalárszorzat kiszámítása


Először a bázisvektorok skalárszorzata: i∙i=j∙j=k∙k=1


i∙j=j∙k=k∙i=0

ebből:

a∙b=(a1i+a2j+a3k) (b1i+ b2j+b3k)= (a1b1)ii+(a1b2)ij+(a1b3)ik + +(a2b1)ji +(a2b2)jj+(a2b3)jk+(a3b1)ki +(a3b2)kj+(a3b3)kk

azaz:

a∙b =a1b1+a2b2+a3b3=


 


Alkalmazásai:


A vektor hossza:                  


Egységvektor:


Két vektor hajlásszöge:

Vetület:


a vetület hossza:                  


a vetületvektor:           


Vektor(iális) szorzat


Fizikai példa a forgatónyomaték  



az erő és karja vektorok:



A forgatónyomaték nagysága:



A forgatónyomaték azonban vektor! vektorszorzat


nagysága:          

iránya: merőleges az r és a P síkjára

irányítottsága: r, P és jobbsodrású.


Az a és a b vektorok axb vektoriális szorzatának nevezzük azt a vektort, amelynek:

nagysága:          

iránya: merőleges az a és a b síkjára

irányítottsága: a, b és jobbsodrású.

Tulajdonságai:             nem kommutatív: axbbxa (axb=-bxa )

nem asszociatív:                   ax(bxc)≠(axb)xc

disztributív: ax(b+c)=axb+axc


Két vektor vektoriális szorzata akkor és csak akkor nulla, ha a két vektor egymással párhuzamos.


A vektorszorzat kiszámítása


Először a bázisvektorok vektorszorzata: ixi=jxj=kxk=0

ixj=k, jxk=i, kxi=j

ixk=-j, jxi=-k, kxj=-i

Ezeknek a felhasználásával:

axb=(a1i+ a2j+ a3k) x (b1i+ b2j+b3k)= (a1b1)i x i+(a1b2)i x j+(a1b3)i x k + +(a2b1)j x i +(a2b2)j x j+(a2b3)j x k+(a3b1)k x i +(a3b2)k x j+(a3b3)k x k=


azaz:



elég bonyolult megjegyezni. Egyszerűbben:


determináns első sor szerinti kifejtése.




Vegyes szorzat:


Az a, b és a c vektorok vegyes szorzata (axb)c=abc

Jelentése a három vektor által kifeszített paralellepipedon térfogata





Értéke zérus, ha a három vektor egy síkban van ← lineárisan összefüggők.







2. Mátrixok


Készítsünk egy táblázatot



jeles

közepes

elégséges

elégtelen

Matematika






Villamosságtan






Közgazdaságtan






Angol







Hagyjuk el a keretet:


Mátrix


Műveletek végezhetők velük.


Mátrixnak nevezünk bármilye nxm számadatot az alábbi téglalap alakú elrendezésben:


Az n a sorok, m az oszlopok száma, ha n=m négyzetes mátrix.

A mátrix főátlója.

Írásban általában: jelöljük.


A mátrix transzponáltja: ha oszlopait és sorait felcseréljük (tükrözzük a főátlóra):


A minormátrix: elhagyjuk a mátrix néhány sorát, illetve oszlopát.



elhagytuk a 2 és az 5 sort, illetve az 1 és a 3 oszlopot.



Műveletek mátrixokkal

Mátrixok egyenlősége:


Mátrixok összeadása:

kommutatív és asszociatív művelet.


Mátrix szorzása skalárral

Kommutatív, asszociatív és disztributív művelet.


Mátrix szorzása mátrixszal:


A és B mátrix szorzata C=A∙B akkor értelmezhető, ha A-nak ugyanannyi oszlopa van, mint ahány sora B-nek, azaz:



ebben az esetbe a C mátrix cij eleme az alábbi lesz:



elég nehéz megjegyezni: Falk módszer:



B

A C



A szorzás:           nem kommutatív lehet, hogy el sem végezhető

asszociatív

disztributív


Négyzetes mátrixnál:                     


Előfordulhat, hogy az eredmény úgy lesz 0 mátrix, hogy a szorzandók közül egyik sem az.

Sor- és oszlopvektorok


Lehetnek egysoros, vagy egyoszlopos mátrixok:


Egyoszlopos oszlopvektor


Egysoros: , mivel az oszlopvektor transzponáltja.


Sor- és oszlopvektorok szorzása: A mátrixszorzás szabályai szerint csak sorvektort lehet oszlopvektorral, vagy oszlopvektort sorvektorral össze-szorozni, továbbá (n=m).


Sorvektor szorzása oszlopvektorral:


skalárszorzat, skalár.


Oszlopvektor szorzása sorvektorral:


diadikus szorzat, mátrix.


Speciális mátrixok

1. Zérusmátrix:


2. Egységmátrix:


3. Egységvektorok :

oszlop: , ,…….

sor:            , ,….


Közülük is a legfontosabbak a 3x3-as mátrixok és 3 dimenziós vektorok ( a háromdimenziós tér elemei).




































3. Determinánsok         


n-edrendű determinánsnak nevezzük az alábbi nxn elemből álló



alakú táblázatot, amelynek a következő értéket tulajdonítunk:


=,

ahol az A1k az a1k elemhez tartozó előjeles aldetemináns, amelyet úgy kapunk meg, hogy az első sort és a k-adik oszlopot elhagyjuk és maradékot megszorozzuk (-1)k+1 –val.


Az aldetermináns (n-1)x(n-1) és determináns lesz, azaz eggyel kisebb. Erre szintén alkalmazzuk a fenti definíciót egészen 1x1- esig, ami már egy valós szám, ezzel már értelmezve van a szorzás. Végül egy valós számot kapunk, amely a determináns értéke. Rekurzív definíció.


A gyakorlatban csak a 2x2-esig megyünk el, mivel annak az értéke:


=ad-bc


Ezt a determináns első sora szerinti kifejtésnek nevezzük.


Példa














A determináns tulajdonságai:


A determinánst bármely sora, vagy oszlopa szerint kifejtve ugyanazt kapjuk. Az előjelek a sakktábla szabály szerint:



A determináns értéke nem változik, ha sorait és oszlopait felcseréljük (tükrözzük).

Ha a determináns két sorát (oszlopát) felcseréljük értéke (-1)-el szorzódik:

a.     Két szomszédos (sakktábla szabályból)

b.    Bármely kettő páratlan számú szomszéd cserékre vissza-vezethető).

Ha egy determináns két sora (oszlopa) azonos, értéke 0 (bizonyítás felcseréléssel).

Ha valamelyik sora (oszlopa) 0, akkor értéke is 0 (ez szerint fejtjük ki. Következmény: érdemes azon sora (oszlopa) szerint kifejteni, melyben sok 0 van.

Ha egy determináns főátlója alatt (felett) csupa 0 van, akkor értéke a főátlóban lévő elemek szorzata.



Ha a determináns valamelyik sorában (oszlopában) minden elem két elem összegére (vagy különbségére) bontható, akkor a determináns is két determináns összegére:



Ha valamelyik sor (oszlop) valamennyi elemét -val meg-szorozzuk, akkor a determináns értéke is szorzódik -val.

Ha a determináns valamelyik sora (oszlopa) a másik többszöröse, akkor értéke 0 (kiemelem a többszöröst, sor (oszlop) meg fog egyezni).


A determináns értéke nem változik, ha valamelyik sorához (oszlo-pához) a másik sorának (oszlopának) valahányszorosát hozzáadjuk. Következmény: Így lehet valamelyik sorból (oszlopból) egy elem kivételével csupa 0-t csinálni és ezt az 5 szerint könnyű kifejteni.


Négyzetes mátrix determinánsa


A négyzetes mátrix, ha n=m , azaz sorainak és oszlopainak a száma megegyezik.

A négyzetes mátrix rendje n (sorainak, illetve oszlopainak a száma).


mátrix determinánsán a


mennyiséget értjük:


Ha a mátrix reguláris

Ha a mátrix szinguláris


A mátrix rangja


Az A mátrix ρ(A) rangján a legnagyobb reguláris minormátrix (négyzetes lesz) rendjét értjük.


Példa: rangja, ρ(A)=2, mivel detA=0, de .


A rangnak fontos szerepe van az alkalmazásban.









A négyzetes mátrix adjungáltja


A négyzetes mátrix adjungáltja az a mátrix


, ahol az Aij az a mátrix aij elemeihez


tartozó aldetermináns (transzponálva van!).


Vagyis a meghatározási metódus:



Példa:


Bebizonyítható:                    



A négyzetes mátrix inverze


Az A négyzetes mátrix inverze az a mátrix, A-1, amelyre igaz, hogy A-1A=E.


Kiszámítása az előzőből:

ebből:


akkor létezik, ha azaz az A mátrix reguláris. (Az inverz megfelel a skalárnál a reciproknak. 0-nak nincs reciproka).


Azonosságok:    és


Példa:








4. Lineáris tér


Több olyan fogalommal találkoztunk (valós számok, vektorok, mátrixok), amelyeknél értelmezve van az összeadás és a szorzás művelete az adott (valós számoknál felsorolt) tulajdonságokkal. Ezek a mennyiségek lineá-ris teret alkotnak, amit L-lel jelölünk (Ln n-dimenziós lineáris tér).


A matematikának a lineáris tér elemeivel foglalkozó ága a lineáris algebra


A lineáris tér elemeit vektoroknak (n-dimenziós) nevezzük, még ha valóban nem is azok, ugyanis:

a valós szám (skalár) egydimenziós vektornak,



a mátrix m darab n dimenziós oszlopvektornak tekinthető.


, ahol

n-dimenziós vektorok


Nemcsak három (tér) hanem akárhány komponensű (n>3) vektorokat is definiálhatunk:


ugyanaz érvényes rájuk, mint a háromdimenziósokra, ugyanúgy lehet velük műveleteket végezni (kivéve a vektorszorzást). →szám n-esek →n-dimen-ziós lineáris tér (Ln


Lineáris függetlenség


Legyenek xi vektorok (i=1; 2;….n) a Ln lineáris tér elemei () és αi valós számok () akkor az



mennyiséget az vektorok lineáris kombinációjának nevezzük. Amennyiben

,


akkor és csak akkor, ha αi =0, ebben az esetben az vektorokat lineárisan független vektoroknak nevezzük. Ellenkező esetben lineárisan összefüggők. Ekkor xi kifejezhető a többi lineáris kombinációjaként.


Bázisvektorok


Amennyiben b1, b2 ,…. bn vektorokat lineárisan független vektorok, azaz:


,


akkor és csak akkor igaz, ha. Ebben az esetben a b1, b2 ,…. bn vektorok segítségével az Ln tér bármelyik a vektora felírható, mint azok lineáris kombinációi:


, ahol .


Ezeket a b1, b2 ,…. bn vektorokat bázisvektoroknak nevezzük. Bármely n számú lineárisan független vektor lehet bázisvektor.


Célszerű azonban: Egymásra merőleges ortogonális (skalárszorzat).

Egységvektor normált (koordináták).


Az így megválasztott bázisteret ortonormált bázistérnek nevezzük.


Három dimenzióban: és


n-dimenzióban:            .…..


Vektor:                         


ahol az a1, a2, és a3 illetve a1, a2, …. an az a vektor koordinátái az ortonormált bázistérben. Sok esetben célszerű azonban nem ortonormált bázisteret választani, például b1, b2 ,…. bn (pl. kristálytan, kristályok leírása). Ekkor az a vektor koordinátái ebben a bázistérben:


különbözni fognak az előző bázistérben kapottaktól.


Lineáris transzformációk


Az L lineáris térnek önmagában való lineáris leképezését lineáris transz-formációnak nevezzük.


Lineáris leképezés: lineáris leképezés, ha és , akkor


és .


Hogyan is néz ki ez a leképezés?


Legyen a lineáris tér két vektora x x1 x2 xn ) és y y1 y2 yn ) továbbá tételezzük fel, hogy a két vektor koordinátái között a következő össze-függések vannak:



azaz:

, ahol az mátrix a lineáris


transzformáció mátrixa, amivel az x vektort (a lineáris tér egy elemét) leképezzük az y vektorba ( a lineáris tér egy másik elemébe):











Inverz transzformáció:


a leképezés megfordítása.


Speciális leképezések:


Az egységmátrix a vektort önmagába viszi át



Nyújtás:

, ugyanis:


Tükrözés az xy síkra:



Forgatás a z tengely körül, φ szöggel:



5. Lineáris egyenletrendszerek


Az


egyenletek halmazát lineáris egyenletrendszernek nevezzük, m egyenlet-ből és n ismeretlenből állnak.


, az együtthatómátrix:


az ismeretlenvektor: , a zavaróvektor:


Az ismeretlenek (n) és az egyenletek (m) száma nem szükségszerűen azonos.


Független egyenlet az, amely nem következik a többiből, azaz nem állítható elő azok lineáris kombinációjaként. Ellenkező esetben nem független (azaz az egyenletrendszer lineárisan összefüggő).


Példa:


A harmadik egyenlet az első kettő összege, tehát nem független, így nem jelent új információt, tehát elhagyható. Ennélfogva az ismeretlenek száma n=3, a (független) egyenletek száma m* m*-gal jelöljük a független egyenletek számát, m*≤m (természetesen a harmadik helyett az első is elhagyható, mivel az a harmadik és a második különbsége, vagy a második, mert az pedig a harmadik és az első különbsége, azaz a lineáris kombináció bármelyik tagja).


Ha n>m*, akkor alulhatározott, néhány ismeretlen (n-m* ) szabadon megválasztható.

Ha n=m* , akkor határozott, n határozott gyök van.

Ha n<m*, akkor túlhatározott, nincs megoldás.


Összefoglalva: legyen a lineáris egyenletrendszernek az

együtthatómátrixa és vezessük be a

bővített mátrixot.


A lineáris egyenletrendszer akkor és csak akkor oldható meg, ha a B bővített mátrix rangja megegyezik az A mátrix rangjával (bizonyítás a könyvben).


Homogén és inhomogén egyeletrendszerek:


inhomogén

homogén


Inhomogén egyenletrendszerek megoldása, Cramer-szabály


Az egyszerűség kedvéért tekintsük n=m-es egyenletrendszert (ha n>m, akkor hasonló lesz a megoldási eljárás a homogénhez). Ebben az esetben az i-edik gyök:


, ahol a bővített


mátrixot úgy kapjuk, hogy az A együtthatómátrix i-edik oszlopa helyére beírjuk a b vektort. A módszer Cramer-szabályként ismert.


Példa:







Homogén egyenletrendszerek megoldása



Triviális megoldás, x=0, akkor van, ha det A≠0 (lásd Cramer-szabály).


Nemtriviális megoldás akkor van, ha det A=0 . Ekkor viszont az egyenlet-rendszer lineárisan összefüggő, a nem független egyenletek (n-n*) elhagy-hatók, ennek megfelelően n-n*) ismeretlen szabadon megválasztható.


Példa:


A harmadik a másik kettő összege, így elhagyható.


Melyik ismeretlen választható meg szabadon?


1. legyen x3=t           

2. legyen x1=t           


x1 nem válaszható meg szabadon!


Csak az(ok) az ismeretlenek választhatók meg szabadon, amelyeknél az átvitel után az együttható determináns nem nulla!









6. Bázistranszformációk



Az egyik bázisról való áttérést a másik bázisra, a bázisvektorok kicserélését, bázistranszformációnak nevezzük.


Elemi bázistranszformációk


A bázistranszformációk legegyszerűbb esete, amikor az adott bázisnak egy lépésben csak egy bázisvektorát cseréljük ki.


Legyenek a tér bázisvektorai : b1, b2 ,…. bn

Annak feltétele, hogy a bi bázisvektort kicserélhessük a tér egy adott b vektorával az, hogy

vektornak βi koordinátája ne legyen 0


Legyen a tér egy vektora:


Nézzük meg, hogyan alakulnak a vektor koordinátái, ha . Kifejezve vektort:


.


Behelyettesítve a vektor koordinátáiba, átrendezve:



az új koordináták. Elég bonyolult kiszámolni.


Egyszerűsítés! A b vektor koordinátái a b1, b2,…..b……bn bázistérben (0; 0;….1;…0), azaz egységvektor lesz. Ezt úgy kapom meg, hogy a b vektor koordinátáit végigosztom βi-vel, ekkor az i-edik koordinátára 1-et kapok és ennek β1-szeresét kivonjuk az első (0 lesz), β2–szeresét a második koordinátájából és így tovább. Ha ugyanezeket megcsináljuk (ugyanazt a transzformációt) az a vektor koordinátáira is, akkor könnyű belátni, hogy pont az koordinátákat kapjuk.


Példa: a=(α1; α 2; α3) ortonormált e , e2, e3 bázistérben. Cseréljük ki az vektorra, akkor az a vektor koordinátái α’1, α’2, α’3 :


A következő táblázatot használhatjuk



b

e2

e3

GENERÁLÓ ELEM

  a

e1





e2





e3





b




e2




e3





Példa: a=(1;2;3) ortonormált e , e2, e3 bázistérben. Cseréljük ki az vektorra, akkor



b

e2

e3

A GENERÁLÓ ELEM

  a

e1







e2





e3






b








e2







e3






Kicserélhetjük az -ra is és így tovább. Ez kétféleképpen oldható meg:


1. a c-t az cserét követően vonjuk be a bázistranszformációba. Ez azt jelenti, hogy a c a b e2, e3 bázistérben van már értelmezve. Legyen c(1;3;2)








b

c

e3

A GENERÁLÓ ELEM

  a


b







e2







e3





b






c








e3






2. a c-t az e1, e2, e3 bázistérben van értelmezve, mint az a vektor. Ebben az esetben már a cserébe is be kell vonni, azaz ebben az esetben az is transzformálódik, hasonlóképpen, mint az a.



b

c

e3

A GENERÁLÓ ELEM

  a

e1





e2





e3





b





e2





A GENERÁLÓ ELEM

 

e3





b







c







e3








A két eredmény különbözik egymástól! És így tovább, az -re, teljes bázistranszformáció.


Alkalmazásai: Lineáris egyenletrendszer megoldása,

Mátrix rangjának meghatározása,

Mátrix inverzének meghatározása,

Determináns értékének a kiszámítása.



Lineáris egyenletrendszer megoldása


A megoldás elve:





Példa:


Megoldás:


Bázis

x1

x2

x3

b

e1





e2





e3





x1





e2





e3





x1







x2







e3







x1





x2





x3


















azaz          
















Bázis

x1

x2

x3

b

e1





e2







e3





x1





e2





e3





x1






x2







e3









x1






x2






-t

x3




t










A harmadik egyenlet elhagyható.

Az x2 vagy az x3 választható meg szabadon. Válasszuk meg az x3-t,

x3=t.

azaz:




Mátrix rangjának meghatározása


A megoldás elve:


A mátrix rangja a legnagyobb reguláris minormátrix (négyzetes, melynek determinánsa nem zérus) nagysága (sorainak, vagy oszlopainak, ami ugyanezt jelenti, a főátlóban lévő elemeinek száma).


Mivel azon determinánsok értéke, melynek csak a főátlójukban tartalmaz-nak 0-tól különböző elemeket, ezen elemek szorzata, így az ilyen mátrix rangja a főátlóban lévő 0-tól különböző elemek számával egyezik meg. Feladat olyan bázistranszformáció, amely ilye (egységmátrix) eredményez (ls az előzőt).





Példa:


mátrix rangja, ρ ?


Megoldás:


Bázis

a1

a2

a3

e1




e2




e3




 

a1




e2




e3




a1




a2




e3





Mátrix inverzének a meghatározása


A megoldás elve:


Skalár esetén:             


Mátrix esetén:             


Példa:


mátrix inverzének, -nak a meghatározása






Megoldás:


Bázis

a1

a2

a3

e1

e2

e3

e1







e2







e3







a1







e2







e3







a1







e2









a3









a1







a2







a3








azaz



Determináns értékének a meghatározása


A megoldás elve:


A determináns valamelyik sorát elosztjuk egy számmal, akkor értéke is ennyivel osztódik. Azaz, ha ily módon a determináns elé kiemelünk egy számot, akkor a szorzat értéke nem változik. Továbbá, ha a determináns egyik sorához hozzáadjuk másik sorának többszörösét, szintén nem változik meg az értéke. Amennyiben a determináns főátlójában lévő elemek 1, a többi 0, akkor ennek a determinánsnak az értéke 1. Bázistranszformációval ezt előállítva, a determináns értéke a kiemelt elemek (generálóelemek) szorzata lesz.





Példa:



Megoldás:


Bázis

a1

a2

a3

e1




e2




e3




a1




e2




e3




a1





a2





e3













A determináns értéke = -1



Tovább már nem is kell folytatni!

 





Találat: 3979