LINEÁRIS ALGEBRA

LINEÁRIS ALGEBRA

Vektorok

Vektor fogalma

Vannak olyan mennyiségek, melyeknek a nagysága a fontos (út, tömeg, munka, stb.). Ezek a skalár mennyiségek.

Vannak olyan mennyiségek, melyeknek a nagyságukon kívül az irányuk (irányítottságuk) is fontos (sebesség, erő, stb.). Új fogalom vektormennyi-ségek.

Irányított szakaszokat vektoroknak nevezünk.

A vektor ismert, ha ismerjük:

nagyságát: hosszát. 2 km

irányát: É-D

irányítottságát: D-ről É-ra mutat.

Jelölése:         írásban (a

a nyomtatásban.

A v vektor hosszát a v vektor abszolút értékének nevezzük és │v│-vel jelöljük (v-vel, ha a szövegből kiderül).

Azt a vektort, melynek abszolút értéke 0, nullvektornak nevezzük és 0-val jelöljük.

Azt a vektort, melynek hossza egységnyi, egységvektornak nevezzük és e_a val jelöljük (a írányú egységvektor).

Két vektor, a és b akkor egyenlő, ha van olyan párhuzamos eltolás amely-nél fedésbe hozhatók:

egyenlők nem egyenlők

Megfeleltetés a sík (tér) pontjai és a vektorok között:

Egyértelmű megfeleltetés van a sík pontjainak halmaza (R²) és a vektor között:

egyenes

sík

tér

Műveletek vektorokkal

Vektorok összeadása

Az a és a b vektorok összegén azt az a+b vektort értjük, amely az a kezdőpontjából a b végpontjába mutat.

Az a és b szerepe felcserélhető

Paralellogramma szabály

Több vektorra is értelmezhető

Tulajdonságai:             a+b=b+a kommutatív

(a+b)+c=a+(b+c) asszociatív

a+0=a nullvektor

a+(-a)=0 az ellentettje

Vektor szorzása skalárral

Adott a vektor és λ skalár szám () szorzatán azt a vektort értjük, melynek hossza:

iránya párhuzamos a-val

irányítottsága a előjelétől függ: ha + azonos

ha - ellentétes a-val.

Ha     >1             nyújtás

<1, de >0 zsugorítás

tükrözés

Bármely a vektor előállítható alakban, ahol az az a irányú egységvektor.

Két vektor (a és b) akkor van egy egyenesen, ha létezik egy amelyre a= b.

Vektorok kivonása (különbsége)

Az a és a b vektorok különbségén azt az a-b vektort értjük, melyet hozzá-adva b-hez a-t kapunk.

a-b ≠ b-a nem kommutatív

Vektorok lineáris kombinációja

Legyen és , akkor a c= a b vektort az a és a b vektorok lineáris kombinációjának nevezzük.

kombináció: az összeadás és a skalárral való szorzás kombinálása.

lineáris: lineáris tér elemei (lsd.később).

Nézzük megfordítva is: mikor állítható elő egy c vektor adott a és b vektorok lineáris kombinációjaként?

Akkor, ha az a nem párhuzamos a b-vel. Ez azt jelenti, hogy

a b ahol

akkor és csak akkor, ha . Ezen feltételnek eleget tevő vektorokat lineárisan független vektoroknak nevezzük. Ellenkező esetben lineárisan összefüggők.

Bizonyítás: legyen pl. α≠0. Ebben az esetben az előző alakba írható, azaz b párhuzamos a-val.

Háromdimenziós vektoroknál a lineáris függetlenség feltétele:

a b + c akkor és csak akkor, ha .

Lineáris összefüggés esetén a három vektor egy síkban van.

Lineárisan független vektorok segítségével a (tér esetén három, a sík esetén kettő) bármelyik v vektora felírható, mint azok lineáris kombinációi. Ezeket a lineárisan független vektorokat bázisvektoroknak nevezzük.

Bármely három (sík esetén kettő) lineárisan független vektor lehet bázis-vektor. Célszerű azonban úgy megválasztani azokat, hogy

Ortonormált bázistér

Legyenek egymásra merőlegesek (ortogonálisak),

Legyenek egységvektorok (normáltak).

Az első választás a skalárszorzat kiszámítását egyszerűsíti, a második lehetővé teszi a vektorok koordinátákkal történő megadását.

Az i, j, k az ortonormált bázisvektorok. Jobbsodrású rendszert alkotnak.

A v vektor felírása:                         v = xi yj zk

Koordinátákkal való megadás:      v=(x;y;z

A koordinátákkal való felírás lényegesen megkönnyíti a műveletek elvégzését.

Műveletek koordinátákkal megadott vektorokkal

Legyen a=(a₁ a₂ a₃ és b=(b₁ b₂ b₃;), valamint

1. Összeadás:

a+b a₁i a₂j a₃k b₁i b₂j b₃k a₁+b₁)i+ a₂+b₂)j+ a₃+b₃)k,

mivel az összeadás asszociatív és disztributív. Két vektort úgy adunk össze (vonunk ki), hogy megfelelő koordinátáikat összeadjuk (kivonjuk).

Skalárral való szorzás

a a₁i a₂j a₃k λa₁)i+ λa₂)j+ λa₃)k

a koordinátákat meg kell szorozni.

3. Vektor szorzása vektorral

Skalár(is) szorzat

Fizikai példa a munka:

amit felírhatunk L=P∙s alakban és az erőnek valamint az útnak (valójában az elmozdulásnak), mint a két vektornak skalár(is) szorzatának nevezünk.

Az a és a b vektorok skalár(is) szorzatán az számot értjük, ahol az a két vektor hajlásszöge.

negatív

pozitív

nulla.

Két vektor skalárszorzata akkor és csak akkor 0, ha azok merőlegesek egymásra.

A skalárszorzat tulajdonságai:

a∙b=b∙a kommutatív

a∙(b+c)=a∙b+a∙c          disztributív

a∙b∙c nincs értelme

A skalárszorzat kiszámítása

Először a bázisvektorok skalárszorzata: i∙i=j∙j=k∙k=1

i∙j=j∙k=k∙i=0

ebből:

a∙b=(a₁i+a₂j+a₃k) ∙ (b₁i+ b₂j+b₃k)= (a₁∙b₁)ii+(a₁∙b₂)ij+(a₁∙b₃)ik + +(a₂∙b₁)ji +(a₂∙b₂)jj+(a₂∙b₃)jk+(a₃∙b₁)ki +(a₃∙b₂)kj+(a₃∙b₃)kk

azaz:

a∙b =a1∙b1+a2∙b2+a3∙b3=

Alkalmazásai:

A vektor hossza:                  

Egységvektor:

Két vektor hajlásszöge:

Vetület:

a vetület hossza:                  

a vetületvektor:           

Vektor(iális) szorzat

Fizikai példa a forgatónyomaték  

az erő és karja vektorok:

A forgatónyomaték nagysága:

A forgatónyomaték azonban vektor! vektorszorzat

nagysága:          

iránya: merőleges az r és a P síkjára

irányítottsága: r, P és jobbsodrású.

Az a és a b vektorok axb vektoriális szorzatának nevezzük azt a vektort, amelynek:

nagysága:          

iránya: merőleges az a és a b síkjára

irányítottsága: a, b és jobbsodrású.

Tulajdonságai:             nem kommutatív: axb≠bxa (axb=-bxa )

nem asszociatív:                   ax(bxc)≠(axb)xc

disztributív: ax(b+c)=axb+axc

Két vektor vektoriális szorzata akkor és csak akkor nulla, ha a két vektor egymással párhuzamos.

A vektorszorzat kiszámítása

Először a bázisvektorok vektorszorzata: ixi=jxj=kxk=0

ixj=k, jxk=i, kxi=j

ixk=-j, jxi=-k, kxj=-i

Ezeknek a felhasználásával:

axb=(a₁i+ a₂j+ a₃k) x (b₁i+ b₂j+b₃k)= (a₁∙b₁)i x i+(a₁∙b₂)i x j+(a₁∙b₃)i x k + +(a₂∙b₁)j x i +(a₂∙b₂)j x j+(a₂∙b₃)j x k+(a₃∙b₁)k x i +(a₃∙b₂)k x j+(a₃∙b₃)k x k=

azaz:

elég bonyolult megjegyezni. Egyszerűbben:

determináns első sor szerinti kifejtése.

Vegyes szorzat:

Az a, b és a c vektorok vegyes szorzata (axb)c=abc

Jelentése a három vektor által kifeszített paralellepipedon térfogata

Értéke zérus, ha a három vektor egy síkban van ← lineárisan összefüggők.

2. Mátrixok

Készítsünk egy táblázatot

Hagyjuk el a keretet:

Mátrix

Műveletek végezhetők velük.

Mátrixnak nevezünk bármilye nxm számadatot az alábbi téglalap alakú elrendezésben:

Az n a sorok, m az oszlopok száma, ha n=m négyzetes mátrix.

A mátrix főátlója.

Írásban általában: jelöljük.

A mátrix transzponáltja: ha oszlopait és sorait felcseréljük (tükrözzük a főátlóra):

A minormátrix: elhagyjuk a mátrix néhány sorát, illetve oszlopát.

elhagytuk a 2 és az 5 sort, illetve az 1 és a 3 oszlopot.

Műveletek mátrixokkal

Mátrixok egyenlősége:

Mátrixok összeadása:

kommutatív és asszociatív művelet.

Mátrix szorzása skalárral

Kommutatív, asszociatív és disztributív művelet.

Mátrix szorzása mátrixszal:

A és B mátrix szorzata C=A∙B akkor értelmezhető, ha A-nak ugyanannyi oszlopa van, mint ahány sora B-nek, azaz:

ebben az esetbe a C mátrix c_ij eleme az alábbi lesz:

elég nehéz megjegyezni: Falk módszer:

B

A C

A szorzás:           nem kommutatív lehet, hogy el sem végezhető

asszociatív

disztributív

Négyzetes mátrixnál:                     

Előfordulhat, hogy az eredmény úgy lesz 0 mátrix, hogy a szorzandók közül egyik sem az.

Sor- és oszlopvektorok

Lehetnek egysoros, vagy egyoszlopos mátrixok:

Egyoszlopos oszlopvektor

Egysoros: , mivel az oszlopvektor transzponáltja.

Sor- és oszlopvektorok szorzása: A mátrixszorzás szabályai szerint csak sorvektort lehet oszlopvektorral, vagy oszlopvektort sorvektorral össze-szorozni, továbbá (n=m).

Sorvektor szorzása oszlopvektorral:

skalárszorzat, skalár.

Oszlopvektor szorzása sorvektorral:

diadikus szorzat, mátrix.

Speciális mátrixok

1. Zérusmátrix:

2. Egységmátrix:

3. Egységvektorok :

oszlop: , ,...

sor:            , ,..

Közülük is a legfontosabbak a 3x3-as mátrixok és 3 dimenziós vektorok ( a háromdimenziós tér elemei).

3. Determinánsok         

n-edrendű determinánsnak nevezzük az alábbi nxn elemből álló

alakú táblázatot, amelynek a következő értéket tulajdonítunk:

=,

ahol az A_1k az a_1k elemhez tartozó előjeles aldetemináns, amelyet úgy kapunk meg, hogy az első sort és a k-adik oszlopot elhagyjuk és maradékot megszorozzuk (-1)^k+1 -val.

Az aldetermináns (n-1)x(n-1) és determináns lesz, azaz eggyel kisebb. Erre szintén alkalmazzuk a fenti definíciót egészen 1x1- esig, ami már egy valós szám, ezzel már értelmezve van a szorzás. Végül egy valós számot kapunk, amely a determináns értéke. Rekurzív definíció.

A gyakorlatban csak a 2x2-esig megyünk el, mivel annak az értéke:

=ad-bc

Ezt a determináns első sora szerinti kifejtésnek nevezzük.

Példa

A determináns tulajdonságai:

A determinánst bármely sora, vagy oszlopa szerint kifejtve ugyanazt kapjuk. Az előjelek a sakktábla szabály szerint:

A determináns értéke nem változik, ha sorait és oszlopait felcseréljük (tükrözzük).

Ha a determináns két sorát (oszlopát) felcseréljük értéke (-1)-el szorzódik:

a.     Két szomszédos (sakktábla szabályból)

b.    Bármely kettő páratlan számú szomszéd cserékre vissza-vezethető).

Ha egy determináns két sora (oszlopa) azonos, értéke 0 (bizonyítás felcseréléssel).

Ha valamelyik sora (oszlopa) 0, akkor értéke is 0 (ez szerint fejtjük ki. Következmény: érdemes azon sora (oszlopa) szerint kifejteni, melyben sok 0 van.

Ha egy determináns főátlója alatt (felett) csupa 0 van, akkor értéke a főátlóban lévő elemek szorzata.

Ha a determináns valamelyik sorában (oszlopában) minden elem két elem összegére (vagy különbségére) bontható, akkor a determináns is két determináns összegére:

Ha valamelyik sor (oszlop) valamennyi elemét -val meg-szorozzuk, akkor a determináns értéke is szorzódik -val.

Ha a determináns valamelyik sora (oszlopa) a másik többszöröse, akkor értéke 0 (kiemelem a többszöröst, sor (oszlop) meg fog egyezni).

A determináns értéke nem változik, ha valamelyik sorához (oszlo-pához) a másik sorának (oszlopának) valahányszorosát hozzáadjuk. Következmény: Így lehet valamelyik sorból (oszlopból) egy elem kivételével csupa 0-t csinálni és ezt az 5 szerint könnyű kifejteni.

Négyzetes mátrix determinánsa

A négyzetes mátrix, ha n=m , azaz sorainak és oszlopainak a száma megegyezik.

A négyzetes mátrix rendje n (sorainak, illetve oszlopainak a száma).

mátrix determinánsán a

mennyiséget értjük:

Ha a mátrix reguláris

Ha a mátrix szinguláris

A mátrix rangja

Az A mátrix ρ(A) rangján a legnagyobb reguláris minormátrix (négyzetes lesz) rendjét értjük.

Példa: rangja, ρ(A)=2, mivel detA=0, de .

A rangnak fontos szerepe van az alkalmazásban.

A négyzetes mátrix adjungáltja

A négyzetes mátrix adjungáltja az a mátrix

, ahol az A_ij az a mátrix a_ij elemeihez

tartozó aldetermináns (transzponálva van!).

Vagyis a meghatározási metódus:

Példa:

Bebizonyítható:                    

A négyzetes mátrix inverze

Az A négyzetes mátrix inverze az a mátrix, A^-1, amelyre igaz, hogy A^-1A=E.

Kiszámítása az előzőből:

ebből:

akkor létezik, ha azaz az A mátrix reguláris. (Az inverz megfelel a skalárnál a reciproknak. 0-nak nincs reciproka).

Azonosságok:    és

Példa:

4. Lineáris tér

Több olyan fogalommal találkoztunk (valós számok, vektorok, mátrixok), amelyeknél értelmezve van az összeadás és a szorzás művelete az adott (valós számoknál felsorolt) tulajdonságokkal. Ezek a mennyiségek lineá-ris teret alkotnak, amit L-lel jelölünk (L_n n-dimenziós lineáris tér).

A matematikának a lineáris tér elemeivel foglalkozó ága a lineáris algebra

A lineáris tér elemeit vektoroknak (n-dimenziós) nevezzük, még ha valóban nem is azok, ugyanis:

a valós szám (skalár) egydimenziós vektornak,

a mátrix m darab n dimenziós oszlopvektornak tekinthető.

, ahol

n-dimenziós vektorok

Nemcsak három (tér) hanem akárhány komponensű (n>3) vektorokat is definiálhatunk:

ugyanaz érvényes rájuk, mint a háromdimenziósokra, ugyanúgy lehet velük műveleteket végezni (kivéve a vektorszorzást). →szám n-esek →n-dimen-ziós lineáris tér (L_n

Lineáris függetlenség

Legyenek x_i vektorok (i=1; 2;..n) a L_n lineáris tér elemei () és α_i valós számok () akkor az

mennyiséget az vektorok lineáris kombinációjának nevezzük. Amennyiben

,

akkor és csak akkor, ha α_i =0, ebben az esetben az vektorokat lineárisan független vektoroknak nevezzük. Ellenkező esetben lineárisan összefüggők. Ekkor x_i kifejezhető a többi lineáris kombinációjaként.

Bázisvektorok

Amennyiben b₁, b₂ ,.. b_n vektorokat lineárisan független vektorok, azaz:

_,

akkor és csak akkor igaz, ha. Ebben az esetben a b₁, b₂ ,.. b_n vektorok segítségével az L_n tér bármelyik a vektora felírható, mint azok lineáris kombinációi:

, ahol _.

Ezeket a b₁, b₂ ,.. b_n vektorokat bázisvektoroknak nevezzük. Bármely n számú lineárisan független vektor lehet bázisvektor.

Célszerű azonban: Egymásra merőleges ortogonális (skalárszorzat).

Egységvektor normált (koordináták).

Az így megválasztott bázisteret ortonormált bázistérnek nevezzük.

Három dimenzióban: és

n-dimenzióban:            ....

Vektor:                         

ahol az a₁, a₂, és a₃ illetve a₁, a₂, .. a_n az a vektor koordinátái az ortonormált bázistérben. Sok esetben célszerű azonban nem ortonormált bázisteret választani, például b₁, b₂ ,.. b_n (pl. kristálytan, kristályok leírása). Ekkor az a vektor koordinátái ebben a bázistérben:

különbözni fognak az előző bázistérben kapottaktól.

Lineáris transzformációk

Az L lineáris térnek önmagában való lineáris leképezését lineáris transz-formációnak nevezzük.

Lineáris leképezés: lineáris leképezés, ha és , akkor

és .

Hogyan is néz ki ez a leképezés?

Legyen a lineáris tér két vektora x x₁ x₂ x_n ) és y y₁ y₂ y_n ) továbbá tételezzük fel, hogy a két vektor koordinátái között a következő össze-függések vannak:

azaz:

, ahol az mátrix a lineáris

transzformáció mátrixa, amivel az x vektort (a lineáris tér egy elemét) leképezzük az y vektorba ( a lineáris tér egy másik elemébe):

Inverz transzformáció:

a leképezés megfordítása.

Speciális leképezések:

Az egységmátrix a vektort önmagába viszi át

Nyújtás:

, ugyanis:

Tükrözés az xy síkra:

Forgatás a z tengely körül, φ szöggel:

5. Lineáris egyenletrendszerek

Az

egyenletek halmazát lineáris egyenletrendszernek nevezzük, m egyenlet-ből és n ismeretlenből állnak.

, az együtthatómátrix:

az ismeretlenvektor: , a zavaróvektor:

Az ismeretlenek (n) és az egyenletek (m) száma nem szükségszerűen azonos.

Független egyenlet az, amely nem következik a többiből, azaz nem állítható elő azok lineáris kombinációjaként. Ellenkező esetben nem független (azaz az egyenletrendszer lineárisan összefüggő).

Példa:

A harmadik egyenlet az első kettő összege, tehát nem független, így nem jelent új információt, tehát elhagyható. Ennélfogva az ismeretlenek száma n=3, a (független) egyenletek száma m* m*-gal jelöljük a független egyenletek számát, m*≤m (természetesen a harmadik helyett az első is elhagyható, mivel az a harmadik és a második különbsége, vagy a második, mert az pedig a harmadik és az első különbsége, azaz a lineáris kombináció bármelyik tagja).

Ha n>m*, akkor alulhatározott, néhány ismeretlen (n-m* ) szabadon megválasztható.

Ha n=m* , akkor határozott, n határozott gyök van.

Ha n<m*, akkor túlhatározott, nincs megoldás.

Összefoglalva: legyen a lineáris egyenletrendszernek az

együtthatómátrixa és vezessük be a

bővített mátrixot.

A lineáris egyenletrendszer akkor és csak akkor oldható meg, ha a B bővített mátrix rangja megegyezik az A mátrix rangjával (bizonyítás a könyvben).

Homogén és inhomogén egyeletrendszerek:

inhomogén

homogén

Inhomogén egyenletrendszerek megoldása, Cramer-szabály

Az egyszerűség kedvéért tekintsük n=m-es egyenletrendszert (ha n>m, akkor hasonló lesz a megoldási eljárás a homogénhez). Ebben az esetben az i-edik gyök:

, ahol a bővített

mátrixot úgy kapjuk, hogy az A együtthatómátrix i-edik oszlopa helyére beírjuk a b vektort. A módszer Cramer-szabályként ismert.

Példa:

Homogén egyenletrendszerek megoldása

Triviális megoldás, x=0, akkor van, ha det A≠0 (lásd Cramer-szabály).

Nemtriviális megoldás akkor van, ha det A=0 . Ekkor viszont az egyenlet-rendszer lineárisan összefüggő, a nem független egyenletek (n-n*) elhagy-hatók, ennek megfelelően n-n*) ismeretlen szabadon megválasztható.

Példa:

A harmadik a másik kettő összege, így elhagyható.

Melyik ismeretlen választható meg szabadon?

1. legyen x₃=t           

2. legyen x₁=t           

x₁ nem válaszható meg szabadon!

Csak az(ok) az ismeretlenek választhatók meg szabadon, amelyeknél az átvitel után az együttható determináns nem nulla!

6. Bázistranszformációk

Az egyik bázisról való áttérést a másik bázisra, a bázisvektorok kicserélését, bázistranszformációnak nevezzük.

Elemi bázistranszformációk

A bázistranszformációk legegyszerűbb esete, amikor az adott bázisnak egy lépésben csak egy bázisvektorát cseréljük ki.

Legyenek a tér bázisvektorai : b₁, b₂ ,.. b_n

Annak feltétele, hogy a b_i bázisvektort kicserélhessük a tér egy adott b vektorával az, hogy

vektornak β_i koordinátája ne legyen 0

Legyen a tér egy vektora:

Nézzük meg, hogyan alakulnak a vektor koordinátái, ha . Kifejezve vektort:

.

Behelyettesítve a vektor koordinátáiba, átrendezve:

az új koordináták. Elég bonyolult kiszámolni.

Egyszerűsítés! A b vektor koordinátái a b₁, b₂,...b..b_n bázistérben (0; 0;..1;.0), azaz egységvektor lesz. Ezt úgy kapom meg, hogy a b vektor koordinátáit végigosztom β_i-vel, ekkor az i-edik koordinátára 1-et kapok és ennek β₁-szeresét kivonjuk az első (0 lesz), β₂-szeresét a második koordinátájából és így tovább. Ha ugyanezeket megcsináljuk (ugyanazt a transzformációt) az a vektor koordinátáira is, akkor könnyű belátni, hogy pont az koordinátákat kapjuk.

Példa: a=(α₁; α ₂; α₃) ortonormált e , e₂, e₃ bázistérben. Cseréljük ki az vektorra, akkor az a vektor koordinátái α'₁, α'₂, α'₃ :

A következő táblázatot használhatjuk

  a

e₁

e₂

e₃

b

e₂

e₃

Példa: a=(1;2;3) ortonormált e , e₂, e₃ bázistérben. Cseréljük ki az vektorra, akkor

  a

e₁

e₂

e₃

b

e₂

e₃

Kicserélhetjük az -ra is és így tovább. Ez kétféleképpen oldható meg:

1. a c-t az cserét követően vonjuk be a bázistranszformációba. Ez azt jelenti, hogy a c a b e₂, e₃ bázistérben van már értelmezve. Legyen c(1;3;2)

  a

b

e₂

e₃

b

c

e₃

2. a c-t az e_1, e₂, e₃ bázistérben van értelmezve, mint az a vektor. Ebben az esetben már a cserébe is be kell vonni, azaz ebben az esetben az is transzformálódik, hasonlóképpen, mint az a.

  a

e₁

e₂

e₃

b

e₂

A GENERÁLÓ ELEM

e₃

b

c

e₃

A két eredmény különbözik egymástól! És így tovább, az -re, teljes bázistranszformáció.

Alkalmazásai: Lineáris egyenletrendszer megoldása,

Mátrix rangjának meghatározása,

Mátrix inverzének meghatározása,

Determináns értékének a kiszámítása.

Lineáris egyenletrendszer megoldása

A megoldás elve:

Példa:

Megoldás:

azaz          

A harmadik egyenlet elhagyható.

Az x₂ vagy az x₃ választható meg szabadon. Válasszuk meg az x₃-t,

x₃=t.

azaz:

Mátrix rangjának meghatározása

A megoldás elve:

A mátrix rangja a legnagyobb reguláris minormátrix (négyzetes, melynek determinánsa nem zérus) nagysága (sorainak, vagy oszlopainak, ami ugyanezt jelenti, a főátlóban lévő elemeinek száma).

Mivel azon determinánsok értéke, melynek csak a főátlójukban tartalmaz-nak 0-tól különböző elemeket, ezen elemek szorzata, így az ilyen mátrix rangja a főátlóban lévő 0-tól különböző elemek számával egyezik meg. Feladat olyan bázistranszformáció, amely ilye (egységmátrix) eredményez (ls az előzőt).

Példa:

mátrix rangja, ρ ?

Megoldás:

 

a₁

e₂

e₃

a₁

a₂

e₃

Mátrix inverzének a meghatározása

A megoldás elve:

Skalár esetén:             

Mátrix esetén:             

Példa:

mátrix inverzének, -nak a meghatározása

Megoldás:

azaz

Determináns értékének a meghatározása

A megoldás elve:

A determináns valamelyik sorát elosztjuk egy számmal, akkor értéke is ennyivel osztódik. Azaz, ha ily módon a determináns elé kiemelünk egy számot, akkor a szorzat értéke nem változik. Továbbá, ha a determináns egyik sorához hozzáadjuk másik sorának többszörösét, szintén nem változik meg az értéke. Amennyiben a determináns főátlójában lévő elemek 1, a többi 0, akkor ennek a determinánsnak az értéke 1. Bázistranszformációval ezt előállítva, a determináns értéke a kiemelt elemek (generálóelemek) szorzata lesz.

Példa:

Megoldás:

A determináns értéke = -1

	Tovább már nem is kell folytatni!