online kép - Fájl  tube fájl feltöltés file feltöltés - adja hozzá a fájlokat online fedezze fel a legújabb online dokumentumok Kapcsolat
   
 

Letöltheto dokumentumok, programok, törvények, tervezetek, javaslatok, egyéb hasznos információk, receptek - Fájl kiterjesztések - fajltube.com

 

Online dokumentumok - kep
   
kategória
 

Biológia állatok Fizikai Földrajz Kémia Matematika Növénytan Számítógépes
Filozófia
Gazdaság
Gyógyszer
Irodalom
Menedzsment
Receptek
Vegyes

 
 
 
 













































 
 

LINEÁRIS ALGEBRA

matematika

Fájl küldése e-mail Esszé Projekt


egyéb tételek

 
Konverzió A Szamrendszerek Között
Egybevagósagi transzformaciók, szimmetrikus sokszögek.
Osztas és oszthatósagok
A kör és részei, kör és egyenes kölcsönös helyzete (elemi geometriai targyalasban), kerületi szög, középponti szög
LINEÁRIS ALGEBRA
 
 

LINEÁRIS ALGEBRA

1.     Vektorok

Vektor fogalma

Vannak olyan mennyiségek, melyeknek a nagysága a fontos (út, tömeg, munka, stb.). Ezek a skalár mennyiségek.

Vannak olyan mennyiségek, melyeknek a nagyságukon kívül az irányuk (irányítottságuk) is fontos (sebesség, erő, stb.). Új fogalom vektormennyi-ségek.


Irányított szakaszokat vektoroknak nevezünk.


A vektor ismert, ha ismerjük:        

·        nagyságát:         hosszát. 2 km

·      irányát:              É-D

·        irányítottságát:  D-ről É-ra mutat.

Jelölése:           írásban  (a)

                                                                        a  nyomtatásban.

A v vektor hosszát a v vektor abszolút értékének nevezzük és  v│-vel jelöljük (v-vel, ha a szövegből kiderül).

Azt a vektort, melynek abszolút értéke 0, nullvektornak nevezzük és 0-val jelöljük.

Azt a vektort, melynek hossza egységnyi, egységvektornak nevezzük és ea -val jelöljük (a írányú egységvektor).

Két vektor, a és b akkor egyenlő, ha van olyan párhuzamos eltolás amely-nél fedésbe hozhatók:


                            egyenlők                                                   nem egyenlők

Megfeleltetés a sík (tér) pontjai és a vektorok között:

Egyértelmű megfeleltetés van a sík pontjainak halmaza (R2) és a vektor között:

        egyenes

      sík

      tér

Műveletek vektorokkal

Vektorok összeadása

Az a és a b vektorok összegén azt az a+b vektort értjük, amely az a kezdőpontjából a b végpontjába mutat.

Az a és b szerepe felcserélhető

Paralellogramma szabály

Több vektorra is értelmezhető

Tulajdonságai:             a+b=b+a                      kommutatív

                                      (a+b)+c=a+(b+c)        asszociatív

                                      a+0=a                           nullvektor

                                      a+(-a)=0                       az ellentettje

Vektor szorzása skalárral

Adott a vektor és λ skalár szám () szorzatán azt a vektort értjük, melynek   hossza:                  

                   iránya                  párhuzamos a-val

                   irányítottsága      a λ előjelétől függ: ha + azonos

                                                                              ha – ellentétes a-val.

Ha     λ>1             nyújtás                

         λ <1, de >0 zsugorítás

         λ=-1            tükrözés

Bármely a vektor előállítható  alakban, ahol az  az a irányú egységvektor.

Két vektor (a és b) akkor van egy egyenesen, ha létezik egy , amelyre a=λb.

Vektorok kivonása (különbsége)

 

Az a és a b vektorok különbségén azt az a-b vektort értjük, melyet hozzá-adva b-hez a-t kapunk.

         a-b b-a  nem kommutatív

Vektorok lineáris kombinációja

Legyen  és , akkor a  c=λa+μb vektort az a és a b vektorok lineáris kombinációjának nevezzük.

kombináció: az összeadás és a skalárral való szorzás kombinálása.

lineáris: lineáris tér elemei (lsd.később).

Nézzük megfordítva is: mikor állítható elő egy c vektor adott a és b vektorok lineáris kombinációjaként?

Akkor, ha az a nem párhuzamos a b-vel. Ez azt jelenti, hogy

                   αa + βb = 0,   ahol   

akkor és csak akkor, ha . Ezen feltételnek eleget tevő vektorokat lineárisan független vektoroknak nevezzük. Ellenkező esetben lineárisan összefüggők.

Bizonyítás: legyen pl. α≠0. Ebben az esetben az előző  alakba írható, azaz b párhuzamos a-val.

Háromdimenziós vektoroknál a lineáris függetlenség feltétele:

        

         αa + βb + c = 0,   akkor és csak akkor, ha    .

Lineáris összefüggés esetén a három vektor egy síkban van.

Lineárisan független vektorok segítségével a (tér esetén három, a sík esetén kettő) bármelyik v vektora felírható, mint azok lineáris kombinációi. Ezeket a lineárisan független vektorokat bázisvektoroknak nevezzük.

Bármely három (sík esetén kettő) lineárisan független vektor lehet bázis-vektor. Célszerű azonban úgy megválasztani azokat, hogy

·       

Ortonormált bázistér

 
Legyenek egymásra merőlegesek (ortogonálisak),

·        Legyenek egységvektorok (normáltak).

Az első választás a skalárszorzat kiszámítását egyszerűsíti, a második lehetővé teszi a vektorok koordinátákkal történő megadását.

Az i, j, k az ortonormált bázisvektorok. Jobbsodrású rendszert alkotnak.

A v vektor felírása:                         v = xi + yj + zk

Koordinátákkal való megadás:      v=(x;y;z).

A koordinátákkal való felírás lényegesen megkönnyíti a műveletek elvégzését.

Műveletek koordinátákkal megadott vektorokkal

Legyen a=(a1; a2; a3;)   és     b=(b1; b2; b3;),      valamint    

1. Összeadás:

a+b=(a1i+ a2j+ a3k)+ (b1i+ b2j+; b3k)= (a1+b1)i+(a2+b2)j+(a3+b3)k,

mivel az összeadás  asszociatív és disztributív. Két vektort úgy adunk össze (vonunk ki), hogy megfelelő koordinátáikat összeadjuk (kivonjuk).

2.   Skalárral való szorzás

 

λa=λ (a1i+ a2j+ a3k)= (λa1)i+(λa2)j+(λa3)k

 

a koordinátákat meg kell szorozni.

3. Vektor szorzása vektorral

Skalár(is) szorzat     

                                       

Fizikai példa a munka:                                    

                                      

amit felírhatunk L=P∙s alakban és az erőnek valamint az útnak (valójában az elmozdulásnak), mint a két vektornak skalár(is) szorzatának nevezünk.

Az a és a b vektorok skalár(is) szorzatán az számot értjük, ahol az  a két vektor hajlásszöge.

                           

    negatív

     pozitív

    nulla.

Két vektor skalárszorzata akkor és csak akkor 0, ha azok merőlegesek egymásra.

A skalárszorzat tulajdonságai:

                            a∙b=b∙a                        kommutatív

                            a∙(b+c)=a∙b+a∙c                   disztributív

                            a∙b∙c                             nincs értelme

A skalárszorzat kiszámítása.

Először a bázisvektorok skalárszorzata:                   i∙i=j∙j=k∙k=1

                                                                          

                                                                           i∙j=j∙k=k∙i=0

ebből:

a∙b=(a1i+a2j+a3k) (b1i+ b2j+b3k)= (a1b1)ii+(a1b2)ij+(a1b3)ik + +(a2b1)ji +(a2b2)jj+(a2b3)jk+(a3b1)ki +(a3b2)kj+(a3b3)kk

azaz:

a∙b =a1b1+a2b2+a3b3=

 
   

 

Alkalmazásai:

A vektor hossza:                                            

Egységvektor:                     

Két vektor hajlásszöge:              

Vetület:

a vetület hossza:                      

a vetületvektor:           

 

Vektor(iális) szorzat

Fizikai példa a forgatónyomaték  

        

az erő és karja vektorok:

A forgatónyomaték nagysága:

       

                                                                  

A forgatónyomaték azonban vektor!        vektorszorzat

                           

nagysága:          

                                      iránya:                 merőleges az r és a P síkjára

                                      irányítottsága:     r, P és  jobbsodrású.

Az a és a b vektorok axb vektoriális szorzatának nevezzük azt a vektort, amelynek:   

nagysága:          

                                      iránya:                 merőleges az a és a b síkjára

                                      irányítottsága:     a, b és  jobbsodrású.

Tulajdonságai:             nem kommutatív:         axbbxa    (axb=-bxa )

                                      nem asszociatív:                   ax(bxc)≠(axb)xc

                                      disztributív:                   ax(b+c)=axb+axc

Két vektor vektoriális szorzata akkor és csak akkor nulla, ha a két vektor egymással párhuzamos.

A vektorszorzat kiszámítása.

Először a bázisvektorok vektorszorzata:                   ixi=jxj=kxk=0

                                                                           ixj=k, jxk=i, kxi=j

                                                                           ixk=-j,  jxi=-k, kxj=-i

Ezeknek a felhasználásával:

axb=(a1i+ a2j+ a3k) x (b1i+ b2j+b3k)= (a1b1)i x i+(a1b2)i x j+(a1b3)i x k + +(a2b1)j x i +(a2b2)j x j+(a2b3)j x k+(a3b1)k x i +(a3b2)k x j+(a3b3)k x k=

azaz:

 

elég bonyolult megjegyezni. Egyszerűbben:

          

determináns első sor szerinti kifejtése.

Vegyes szorzat:

 

Az a, b és a c vektorok vegyes szorzata (axb)c=abc

Jelentése a három vektor által kifeszített paralellepipedon térfogata

Értéke zérus, ha a három vektor egy síkban van ← lineárisan összefüggők.

2. Mátrixok

Készítsünk egy táblázatot

jeles

közepes

elégséges

elégtelen

Matematika

1

3

3

10

13

Villamosságtan

0

0

5

15

10

Közgazdaságtan

5

5

10

8

2

Angol

1

3

20

6

0

Hagyjuk el a keretet:

               Mátrix

Műveletek végezhetők velük.

Mátrixnak nevezünk bármilye nxm számadatot az alábbi téglalap alakú elrendezésben:

                           

Az n a sorok, m az oszlopok száma, ha n=m négyzetes mátrix.

                            A mátrix főátlója.

Írásban általában:  jelöljük.

A mátrix transzponáltja: ha oszlopait és sorait felcseréljük (tükrözzük a főátlóra):

                           

A minormátrix: elhagyjuk a mátrix néhány sorát, illetve oszlopát.

                           

elhagytuk a 2 és az 5 sort, illetve az 1 és a 3 oszlopot.

Műveletek mátrixokkal

Mátrixok egyenlősége:                           

Mátrixok összeadása:                   

                                                       

kommutatív és asszociatív művelet.

Mátrix szorzása skalárral:              

Kommutatív, asszociatív és disztributív művelet.

Mátrix szorzása mátrixszal:

 

A és B mátrix szorzata C=A∙B akkor értelmezhető, ha A-nak ugyanannyi oszlopa van, mint ahány sora B-nek, azaz:

                  

ebben az esetbe a C mátrix cij  eleme az alábbi lesz:

                  

elég nehéz megjegyezni: Falk módszer:


                                         B

         A        C

A szorzás:           nem kommutatív    lehet, hogy el sem végezhető

                            asszociatív                    

                            disztributív           

Négyzetes mátrixnál:                       

                                                                                

Előfordulhat, hogy az eredmény úgy lesz 0 mátrix, hogy a szorzandók közül egyik sem az.

Sor- és oszlopvektorok

Lehetnek egysoros, vagy egyoszlopos mátrixok:

Egyoszlopos:     oszlopvektor

Egysoros:           , mivel az     oszlopvektor transzponáltja.

Sor- és oszlopvektorok szorzása: A mátrixszorzás szabályai szerint csak sorvektort lehet oszlopvektorral, vagy oszlopvektort sorvektorral össze-szorozni, továbbá (n=m).

Sorvektor szorzása oszlopvektorral:

                                               skalárszorzat, skalár.

Oszlopvektor szorzása sorvektorral:

                              diadikus szorzat, mátrix.

Speciális mátrixok

1. Zérusmátrix:     

2. Egységmátrix:  

3. Egységvektorok :  

oszlop:  ,  ,…….

sor:            ,  ,….

Közülük is a legfontosabbak a 3x3-as mátrixok és 3 dimenziós vektorok ( a háromdimenziós tér elemei).



3. Determinánsok         

n-edrendű determinánsnak nevezzük az alábbi nxn elemből álló

=

alakú táblázatot, amelynek a következő értéket tulajdonítunk:

=,

ahol az A1k  az a1k elemhez tartozó előjeles aldetemináns, amelyet úgy kapunk meg, hogy az első sort és a k-adik oszlopot elhagyjuk és maradékot megszorozzuk (-1)k+1 –val.

Az aldetermináns (n-1)x(n-1) és determináns lesz, azaz eggyel kisebb. Erre szintén alkalmazzuk a fenti definíciót egészen 1x1- esig, ami már egy valós szám, ezzel már értelmezve van a szorzás. Végül egy valós számot kapunk, amely a determináns értéke.  Rekurzív definíció.

A gyakorlatban csak a 2x2-esig megyünk el, mivel annak az értéke:

=ad-bc

Ezt a determináns első sora szerinti kifejtésnek nevezzük.

Példa

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A determináns tulajdonságai:

 

1.    A determinánst bármely sora, vagy oszlopa szerint kifejtve ugyanazt kapjuk. Az előjelek a sakktábla szabály szerint:

.

2.    A determináns értéke nem változik, ha sorait és oszlopait felcseréljük (tükrözzük).

3.    Ha a determináns  két  sorát (oszlopát)  felcseréljük  értéke (-1)-el szorzódik:

a.     Két szomszédos (sakktábla szabályból)

b.    Bármely kettő páratlan számú szomszéd cserékre vissza-vezethető).

4.    Ha egy determináns két sora (oszlopa) azonos, értéke 0 (bizonyítás felcseréléssel).

5.    Ha valamelyik sora (oszlopa) 0, akkor értéke is 0 (ez szerint fejtjük ki. Következmény: érdemes azon sora (oszlopa) szerint kifejteni, melyben sok 0 van.

6.    Ha egy determináns főátlója alatt (felett) csupa 0 van, akkor értéke a főátlóban lévő elemek szorzata.

7.    Ha a determináns valamelyik sorában (oszlopában) minden elem két elem összegére (vagy különbségére) bontható, akkor a determináns is két determináns összegére:

8.    Ha valamelyik sor (oszlop) valamennyi elemét -val meg-szorozzuk, akkor a determináns értéke is szorzódik λ-val.

9.    Ha a determináns valamelyik sora (oszlopa) a másik többszöröse, akkor értéke 0 (kiemelem a többszöröst, sor (oszlop) meg fog egyezni).

10.  A determináns értéke nem változik, ha valamelyik sorához (oszlo-pához) a másik sorának (oszlopának) valahányszorosát hozzáadjuk. Következmény: Így lehet valamelyik  sorból (oszlopból) egy elem kivételével csupa 0-t csinálni és ezt az 5 szerint könnyű kifejteni.

Négyzetes mátrix determinánsa

A négyzetes mátrix, ha n=m , azaz sorainak és oszlopainak a száma megegyezik.

A négyzetes mátrix rendje n (sorainak, illetve oszlopainak a száma).

  mátrix determinánsán a

mennyiséget értjük:

Ha         a mátrix reguláris

Ha         a mátrix szinguláris

A mátrix rangja

 

Az A mátrix ρ(A) rangján a legnagyobb reguláris minormátrix (négyzetes lesz) rendjét értjük.

Példa:        rangja,  ρ(A)=2, mivel  detA=0, de .

A rangnak fontos szerepe van az alkalmazásban.

A négyzetes mátrix adjungáltja

A négyzetes mátrix adjungáltja az a mátrix

, ahol az Aij  az a mátrix aij  elemeihez

tartozó aldetermináns (transzponálva van!).

Vagyis a meghatározási metódus:

Példa:

Bebizonyítható:                    

A négyzetes mátrix inverze

Az A négyzetes mátrix inverze az a mátrix, A-1, amelyre igaz, hogy A-1A=E.

Kiszámítása az előzőből:    

                                              

  ebből:  

akkor létezik, ha  azaz az A mátrix reguláris. (Az inverz megfelel a skalárnál a reciproknak. 0-nak nincs reciproka).

Azonosságok:    ;                  és 

 

Példa:

4. Lineáris tér

Több olyan fogalommal találkoztunk (valós számok, vektorok, mátrixok), amelyeknél értelmezve van az összeadás és a szorzás művelete az adott (valós számoknál felsorolt) tulajdonságokkal.           Ezek a mennyiségek lineá-ris teret alkotnak, amit L-lel jelölünk (Ln n-dimenziós lineáris tér).

A matematikának a lineáris tér elemeivel foglalkozó ága a lineáris algebra.

A lineáris tér elemeit vektoroknak (n-dimenziós) nevezzük, még ha valóban nem is azok, ugyanis:

a valós szám (skalár) egydimenziós vektornak,

                  

a mátrix m darab n dimenziós oszlopvektornak tekinthető.

                            ,  ahol    

n-dimenziós vektorok

Nemcsak három (tér) hanem akárhány komponensű (n>3) vektorokat is definiálhatunk:

                           

ugyanaz érvényes rájuk, mint a háromdimenziósokra, ugyanúgy lehet velük műveleteket végezni  (kivéve a vektorszorzást). →szám n-esek →n-dimen-ziós lineáris tér (Ln).

Lineáris függetlenség

Legyenek xi vektorok (i=1; 2;….n) a Ln  lineáris tér elemei () és αi valós számok  () akkor az

                                              

mennyiséget az   vektorok lineáris kombinációjának nevezzük. Amennyiben

 ,

akkor és csak akkor, ha αi =0, ebben az esetben az  vektorokat lineárisan független vektoroknak nevezzük. Ellenkező esetben lineárisan összefüggők. Ekkor xi kifejezhető a többi lineáris kombinációjaként.

Bázisvektorok

Amennyiben b1, b2 ,…. bn vektorokat lineárisan független vektorok, azaz:

,

akkor és csak akkor igaz, ha. Ebben az esetben a b1, b2 ,…. bn vektorok segítségével az Ln tér bármelyik a vektora felírható, mint azok lineáris kombinációi:

,  ahol                 .

Ezeket a  b1, b2 ,…. bn  vektorokat bázisvektoroknak nevezzük. Bármely n számú lineárisan független vektor lehet bázisvektor.

Célszerű azonban:      Egymásra merőleges ortogonális (skalárszorzat).

                                      Egységvektor normált (koordináták).

Az így megválasztott bázisteret ortonormált bázistérnek nevezzük.

Három dimenzióban:               és    

n-dimenzióban:                        .…..  

Vektor:                         

ahol az a1,  a2, és a3, illetve  a1, a2, …. an  az a vektor koordinátái az ortonormált bázistérben. Sok esetben célszerű azonban nem ortonormált bázisteret választani, például b1, b2 ,…. bn  (pl. kristálytan, kristályok leírása). Ekkor az a vektor koordinátái ebben a bázistérben:

.

különbözni fognak az előző bázistérben kapottaktól.

Lineáris transzformációk

Az L lineáris térnek önmagában való lineáris leképezését lineáris transz-formációnak nevezzük.

Lineáris leképezés:  λ lineáris leképezés, ha  és , akkor

                  

                  

         és     .

Hogyan is néz ki ez a leképezés?

Legyen a lineáris tér két vektora x=(x1; x2; ….xn ) és y=(y1; y2; ….yn ) továbbá tételezzük fel, hogy a két vektor koordinátái között a következő össze-függések vannak:

azaz:

,  ahol az     mátrix a lineáris

transzformáció mátrixa, amivel az x vektort (a lineáris tér egy elemét) leképezzük az y vektorba ( a lineáris tér egy másik elemébe):


Inverz transzformáció:

                   a leképezés megfordítása.

Speciális leképezések:

 

Az egységmátrix a vektort önmagába viszi át

                  

Nyújtás:

                ,    ugyanis:    

Tükrözés az xy síkra:

               

Forgatás a z tengely körül, φ szöggel:

               

5. Lineáris egyenletrendszerek

Az

egyenletek halmazát lineáris egyenletrendszernek nevezzük, m egyenlet-ből és n ismeretlenből állnak.

        ,    az együtthatómátrix:    

az ismeretlenvektor:    ,   a zavaróvektor:   

Az ismeretlenek (n) és az egyenletek (m) száma nem szükségszerűen azonos.

Független egyenlet az, amely nem következik a többiből, azaz nem állítható elő azok lineáris kombinációjaként. Ellenkező esetben nem független (azaz az egyenletrendszer lineárisan összefüggő).

Példa:

                  

A harmadik egyenlet az első kettő összege, tehát nem független, így nem jelent új információt, tehát elhagyható. Ennélfogva az ismeretlenek száma n=3, a (független) egyenletek száma m*=2 (m*-gal jelöljük a független egyenletek számát, m*≤m  (természetesen a harmadik helyett az első is elhagyható, mivel az a harmadik és a második különbsége, vagy a második, mert az pedig a harmadik és az első különbsége, azaz a lineáris kombináció bármelyik tagja).

·        Ha n>m*, akkor alulhatározott, néhány ismeretlen (n-m* ) szabadon megválasztható.

·        Ha n=m* , akkor határozott, n határozott gyök van.

·        Ha n<m*, akkor túlhatározott, nincs megoldás.  

Összefoglalva:   legyen a lineáris egyenletrendszernek az

   együtthatómátrixa és vezessük be a

                             bővített mátrixot.

A lineáris egyenletrendszer akkor és csak akkor oldható meg, ha a B bővített mátrix rangja megegyezik az A mátrix rangjával (bizonyítás a könyvben).

Homogén és inhomogén egyeletrendszerek:

 

     inhomogén

      homogén

 

Inhomogén egyenletrendszerek megoldása, Cramer-szabály

 

Az egyszerűség kedvéért tekintsük n=m-es egyenletrendszert (ha n>m, akkor hasonló lesz a megoldási eljárás a homogénhez). Ebben az esetben az i-edik gyök:

                   ,    ahol a        bővített

mátrixot úgy kapjuk, hogy az A együtthatómátrix i-edik oszlopa helyére beírjuk a b vektort. A módszer Cramer-szabályként ismert.

Példa:

         

 

       

 

        

       

 

 

Homogén egyenletrendszerek megoldása

               

Triviális megoldás, x=0, akkor van, ha det A≠0  (lásd Cramer-szabály).

Nemtriviális megoldás akkor van, ha det A=0 . Ekkor viszont az egyenlet-rendszer lineárisan összefüggő, a nem független egyenletek (n-n*) elhagy-hatók, ennek megfelelően  n-n*)  ismeretlen szabadon megválasztható.

Példa:

          A harmadik a másik kettő összege, így elhagyható.

Melyik ismeretlen választható meg szabadon?

               

1. legyen   x3=t           

            

                                                      

                                                      

2. legyen   x1=t           

   x1 nem válaszható meg szabadon!

Csak az(ok) az ismeretlenek választhatók meg szabadon, amelyeknél az átvitel után az együttható determináns nem nulla!

6. Bázistranszformációk

Az egyik bázisról való áttérést a másik bázisra, a bázisvektorok kicserélését, bázistranszformációnak nevezzük.

Elemi bázistranszformációk

A bázistranszformációk legegyszerűbb esete, amikor az adott bázisnak egy lépésben csak egy bázisvektorát cseréljük ki.

Legyenek a tér bázisvektorai :       b1, b2 ,…. bn 

Annak feltétele, hogy a bi bázisvektort kicserélhessük a tér egy adott b  vektorával az, hogy

vektornak βi koordinátája ne legyen 0

Legyen a tér egy vektora:             

Nézzük meg, hogyan alakulnak a vektor koordinátái, ha   . Kifejezve  vektort:

         .

Behelyettesítve a vektor koordinátáiba, átrendezve:        

               

az új koordináták. Elég bonyolult kiszámolni.

Egyszerűsítés!   A b vektor koordinátái a b1, b2,…..b……bn bázistérben  (0; 0;….1;…0), azaz egységvektor lesz. Ezt úgy kapom meg, hogy a b vektor koordinátáit végigosztom βi-vel, ekkor az i-edik koordinátára 1-et kapok és ennek β1-szeresét kivonjuk az első (0 lesz),  β2–szeresét a második koordinátájából és így tovább. Ha ugyanezeket megcsináljuk (ugyanazt a transzformációt) az a vektor koordinátáira is, akkor könnyű belátni, hogy pont az   koordinátákat kapjuk.

Példa: a=(α1; α 2; α3) ortonormált e1, e2, e3 bázistérben. Cseréljük ki az  vektorra, akkor az a vektor koordinátái α’1, α’2, α’3 :

 

A következő táblázatot használhatjuk

b

e2

e3

β1  GENERÁLÓ ELEM

 
a

e1

β1

0

0

α1

e2

β 2

1

0

α 2

e3

β 3

0

1

α 3

b

1

0

0

e2

0

1

0

e3

0

0

1

Példa: a=(1;2;3) ortonormált e1, e2, e3 bázistérben. Cseréljük ki az  vektorra, akkor

b

e2

e3

2 A GENERÁLÓ ELEM

 
a

e1

2



0

0

1

e2

1

1

0

2

e3

0

0

1

3

b

1

0

0

e2

0

1

0

e3

0

0

1

3

Kicserélhetjük az -ra is és így tovább. Ez kétféleképpen oldható meg:

1. a c-t az cserét követően vonjuk be a bázistranszformációba. Ez azt jelenti, hogy a c a b, e2, e3 bázistérben van már értelmezve. Legyen c(1;3;2)

b

c

e3

3 A GENERÁLÓ ELEM

 
a

b

1

1

0

e2

0

3

0

e3

0

2

1

3

b

1

0

0

0

c

0

1

0

e3

0

0

1

2

2. a c-t az e1, e2, e3 bázistérben van értelmezve, mint az a vektor. Ebben az esetben már a cserébe is be kell vonni, azaz ebben az esetben az is transzformálódik, hasonlóképpen, mint az a.

b

c

e3

2 A GENERÁLÓ ELEM

 
a

e1

2

1

0

1

e2

1

3

0

2

e3

0

2

1

3

 b

1

0

e2

0

0

 A GENERÁLÓ ELEM

 

e3

0

2

1

3

b

1

0

0

c

0

1

0

e3

0

0

1

A két eredmény különbözik egymástól! És így tovább, az -re, teljes bázistranszformáció.

Alkalmazásai:   Lineáris egyenletrendszer megoldása,

                            Mátrix rangjának meghatározása,

                            Mátrix inverzének meghatározása,

                            Determináns értékének a kiszámítása.

Lineáris egyenletrendszer megoldása

A megoldás elve:

        

 

 

Példa:

                          

Megoldás:

Bázis

x1

x2

x3

b

e1

1

1

-2

-3

e2

2

-1

0

0

e3

1

-1

1

2

x1

1

1

-2

-3

e2

0

-3

4

6

e3

0

-2

3

5

x1

1

0

-1

x2

0

1

-2

e3

0

0

1

x1

1

0

0

1

x2

0

1

0

2

x3

0

0

1

3

azaz          

Bázis

x1

x2

x3

b

e1

1

1

1

1

e2

1

-1

-1

0



e3

2

0

0

1

x1

1

1

1

1

e2

0

-2

-2

-1

e3

0

-2

-2

-1

x1

1

0

0

x2

0

1

1

e3

0

0

0

0

x1

1

0

x2

0

1

-t

x3

t

A harmadik egyenlet elhagyható.

Az x2 vagy az x3 választható meg szabadon. Válasszuk meg az x3-t,

x3=t.

azaz:                 

                  

                  

Mátrix rangjának meghatározása             

A megoldás elve:

A mátrix rangja a legnagyobb reguláris minormátrix (négyzetes, melynek determinánsa nem zérus) nagysága (sorainak, vagy oszlopainak, ami ugyanezt jelenti, a főátlóban lévő elemeinek száma).

Mivel azon determinánsok értéke, melynek csak a főátlójukban tartalmaz-nak 0-tól különböző elemeket, ezen elemek szorzata, így az ilyen mátrix rangja a főátlóban lévő 0-tól különböző elemek számával egyezik meg. Feladat olyan bázistranszformáció, amely ilye (egységmátrix) eredményez (ls az előzőt).

 

 

 

 

Példa:

 

      mátrix rangja, ρ ?

Megoldás:

Bázis

a1

a2

a3

e1

1

2

1

e2

2

2

1

e3

3

4

ρ=2

 
2

a1

1

2

1

e2

0

-2

-1

e3

0

-2

-1

a1

1

0

0

a2

0

1

0

e3

0

0

0

Mátrix inverzének a meghatározása

A megoldás elve:

Skalár esetén:             

Mátrix esetén:             

Példa:

   mátrix inverzének, -nak a meghatározása

 

 

 

 

 

Megoldás:

Bázis

a1

a2

a3

e1

e2

e3

e1

1

2

3

1

0

0

e2

2

4

5

0

1

0

e3

3

5

6

0

0

1

a1

1

2

3

1

0

0

e2

0

0

-1

-2

1

0

e3

0

-2

-3

-3

0

1

a1

1

0

0

-2

0

1

e2

0

0

-1

1

a3

0

1

1

0

a1

1

0

0

-1

-3

2

a2

0

1

0

-3

3

-1

a3

0

0

1

2

-1

0

azaz          

Determináns értékének a meghatározása

A megoldás elve:

A determináns valamelyik sorát elosztjuk egy számmal, akkor értéke is ennyivel osztódik. Azaz, ha ily módon a determináns elé kiemelünk egy számot, akkor a szorzat értéke nem változik. Továbbá, ha a determináns egyik sorához hozzáadjuk másik sorának többszörösét, szintén nem változik meg az értéke. Amennyiben a determináns főátlójában lévő elemek 1, a többi 0, akkor ennek a determinánsnak az értéke 1. Bázistranszformációval ezt előállítva, a determináns értéke a kiemelt elemek (generálóelemek) szorzata lesz.

 

 

 

 

Példa:

 

Megoldás:

Bázis

a1

a2

a3

e1

1

1

-2

e2

2

-1

0

e3

1

-1

1

a1

1

1

-2

e2

0

-3

4

e3

0

-2

3

a1

1

0

a2

0

1

e3

0

0


    A determináns értéke = -1

Tovább már nem is kell folytatni!

 

Találat: 3749