A NOETHER-ELV

A NOETHER-ELV

Lie munkája népszerű és elismert lett a matematikusok körében, például a differenciálegyenletek megoldási lehetőségeit jellemez­hették, írhatták le Lie-csoportokkal. A századforduló táján ismert és elterjedt módszer azonban az 1930-as években háttérbe szorult, gyakorlatilag elfelejtették, és csak a számítógépek elterjedése, a numerikus módszerek népszerűsödése porolta le Lie munkáit, de egy generáció nőtt föl anélkül, hogy Lie nevét ismerték volna. Ez is mutatja, hogy a tudományban megszületett eredmények néha feledésbe merülnek, majd később, néhány generáció után újra köz­ismertek, fontosak, divatosak lehetnek, attól függően, hogy milyen irányba kezd a közgondolkodás fejlődni.

Emmy Noether sorsa is tipikusan ilyen történet. Amalie Emmy Noether Erlangenben született Max Noether matemati­kus lányaként. Ez az indíttatás meghatározta egész életét, hiszen matematikát tanult édesapjától, valamint a legjobb iskolákban Erlan­genben és Göttingenben is.

1915-ben hivta meg a Göttingeni Egye­temre David Hilbert, a kor ma is elismert matematikusa. Bár amiatt, hogy nő volt és zsidó, nem kaphatott hivatalos egyetemi állást, mé­gis a legjobb matematikusok között tartották nyilván, és számos, jó képességű diákja is akadt. Felix Klein tiltakozását még ma is idézik, hiszen Klein próbálta hivatalos, fizető egyetemi álláshoz juttatni. Klein úgy fogalmazott, hogy a Göttingeni Egyetem nem fürdőház, ahová nőket nem szabad beengedni. Mindez hiába volt, sosem ka­pott állandó állást, sőt 1933-ban, amikor a nácik hatalomra jutottak, menekülnie kellett, és életének maradék másfél évét Princetonban és Bryn Mawr Egyetemen töltötte. Az ő neve egyébként az absztrakt algebra kifejlesztésével kapcsolatos, a gyűrű-elméletben alkotott jelentőset. A róla elnevezett Noether-gyűrűk hosszú ideig stimulál­ták az algebra kutatását. A számelméletben is jelentőset alkotott, de most számunkra az a korai munkája az érdekes, amit Felix Klein bíztatására kezdett el, és 1918-ban publikált.

AMALIE EMMY NOETHER

Ez a halmozottan hátrányos helyzetű (nő is zsidó) matematikus értette meg először, hogy mi az energia, az impulzus is impulzus­nyomaték fizikai jélentése. Korát messze megelőzte. A náci hata­lomátvétel után menekülnie kellett.

Ő vette észre először, hogy az általunk már jól ismert fizikai fo­galmak, azaz az energia, az impulzus és impulzusnyomaték szimmetriaként fogható föl. Lie folytonos szimmetriájú csoportjai itt értek be, Noether gondolatai rakták helyre az energia fogalmát. Éppen ezért a függelékben részletesebben foglalkozunk Noether eredményeivel, de nem eredeti cikkének vázlatos fordításával, ha­nem Láncos Kornél egyszerűsített interpretációját fölhasználva.

Noether úgy írt, mint egy algebrista, és általában egy új témáról az első cikkek nem igazán a legérettebb, legjobban követhető gondo­latmenettel íródnak, ezért érdemes a későbbi, letisztultabb gondo­latmenetet követni Láncos Kornél magyarázatával. Bár ez is meg­lehetősen nehéz azoknak, akik nem járatosak a variációszámításban és általában az elméleti mechanikában, azért a képleteket kihagyva talán az érdeklődő olvasók számára is követhető a gondolatmenet elve. Emlékszünk rá, hogy Lagrange és Euler tárgyalta az elméleti mechanikában variációszámítás segítségével a dinamikát. Lagrange vezette be a potenciális és kinetikus energia különbségeként az úgynevezett hatásfüggvényt. Az jellemezte a szabad erőkkel törté­nő mozgást, hogy a gyakorlatban megvalósuló mozgásoknál ez a bizonyos hatás minimális, tehát az energetikailag lehetséges moz­gások közül csak az valósul meg, ahol a hatás minimális. Ez egy variációszámítási feladat, és Noether azt mutatta meg, hogy a ha­tásintegrál invariáns marad egy csoporttranszformációra, melyet vagy a függő, vagy a független változókra alkalmazunk. Megmu­tatta, hogy minden ilyen transzformációval kapcsolatos paraméter egy adott megmaradási egyenletnek felel meg. Azt is megmutatta, hogy elegendő csak infinitezimális transzformációk csoportjával foglalkozni, azaz elemi elmozdulásokhoz tartozó piciny változások transzformációját kell vizsgálni, és ez az, amire a Lie-csoportok igazán alkalmasak.

Noether arra jött rá, hogy mi a fizikai jelentése a három fontos; mindig megmaradónak hitt mennyiségnek.

(Részletesebb kifejtését a függelék tartalmazza.)

Az energia az időbeli eltolás szimmetriája azaz ez az érték időben mindig állandó konzervatív mezőkre.

Az impulzus hasonló módon a térbeli eltolás szimmetriája azaz konzervatív erőtérben a tér bármely pontjában azonos az értéke. (Úgy is szokták mondani, hogy a tér homogén, minden pontja azo­nos tulajdonságú. Ez megint csak konzervativ erőterekre igaz.) Az impulzusnyomaték a térbeli elfordulásra nézve hasonló szimmetria, mint az impulzus, ugyancsak konzervatív erőtérre.

Bizony, e mögött a sok száraznak tűnő, nem is azonnal érthető fo­galom mögött családok, népek sorsa, boldogulása rejtőzik. Ha meg­elégszünk a mai, nem teljes, helytelen energia- és impulzusfogalom­mal, akkor marad a mai világrend. Ha megkapargatjuk a felszínt, és a szimmetria szó fátylát fellebbentjük- sok minden megváltozik majd.

Azért, hogy a könyv lendületét ne fogjuk vissza, a fenti fontos de nem könnyen átlátható gondolatmenet bizonyítását is a függe-lékbe helyeztem, a szükséges háttér ismeretekkel rendelkező olva­sóknak melegen ajánlom átolvasásra.

A Noether-féle szimmetriát, azaz megmaradási törvényt a követ­kezőként fogalmazhatjuk meg: Ha azok az egyenletek, melyek egy fizikai rendszer dinamikus viselkedését írják le, nem változnak a rendszeren végzett transzformláció esetén, akkor minden transzfor­mációra kell lenni egy megmaradó mennyiségnek, ami nem vál­tozik. Ugyanakkor ez a törvény magában foglalja a tétel megfordí­tásának lehetőségét is, azaz ha azt akarjuk, hogy ne legyenek meg­maradó mennyiségek, akkor a mozgás ideje alatt folyamatosan más tulajdonságú, más gyorsulású vonatkoztatási rendszert kell elő­állítani. Így a dinamikai egyenletekben szereplő erők értéke pontról pontra változik, vagy a variációs minimumelveknél megmaradva: a nem teljes differenciálok megjelenése miatt eltűnnek a stabil hely­zetek, ezért például energiatöbblet jelenhet meg. Noether levezeté­se, szimmetria-megfontolásai magukban hordozták az energia és impulzus mint szimmetria megsemmisítésének lehetőségét is, utat, irányt mutathattak volna. Egy lépés kellett volna csak annak megér­téséhez, hogy az energia mint szimmetria megsemmisíthető.

Látható, hogy csak konzervatív, potenciálos erőtérben állandó az energia értéke, nem potenciálos erőterek esetén már nem szükség­szerűen állandó ez az érték. Ha pontról pontra más dinamikai tulaj­donságokkal bír egy rendszer, akkor abban az esetben, ha minden egyes pontban más a tömegpontra ható erő, azaz más lesz az értéke a sebességnek, a gyorsulásnak, valamint a magasabb deriváltaknak, akkor nem szükségszerűen marad meg sem az energia, sem az impulzus, sem az impulzusnyomaték. Ilyen eset előfordulhat sok­féle mozgás esetén, például trochoidok vagy spirálok mentén törté­nő mozgásoknál. Azt mondhatjuk, hogy általánosabb az az eset, amikor az energia és az impulzusnyomaték nem marad meg, és csak kivételesnek tekinthető az az eset, amikor megmarad. Elvileg könnyebb nem potenciálos tereket, mezőket előállítani, mint kon­zervatív, potenciálos mezőket. Arra kell gondolnunk, hogy csak a dogmatikus szemlélet akadályozta meg annak belátását matemati­kai úton, szimmetria-feltételekből elindulva hogy például az ener­gia és az impulzus nem mindig állandó. Ezt a hibát egy magyar származású fizikus, Péter Havas észre is vette, és közölte is az Acta Physica Austriatica című folyóiratban, azonban olyan mélyen gyö­kerezett már a megmaradásokkal kapcsolatos előítélet a kutatókban, hogy cikke visszhang nélkül maradt.

Íme, amint egy újabb lehetőséget, az absztrakt matematikával adódó alkalmat is kihagyta a tudomány intézménye, pusztán a meg­szokások és előítéletek miatt. Ez újabb példa az intézményrendszer hibájára. Már láttuk, hogy a véletlen, azaz a próba szerencse alapon elért eredmény nem segített Orffyreus esetében. És nem segített a Curie-féle szimmetriatörvények felhasználásával sem a fizikai je­lenségek szimmetriájából kiindulva levezetni az energiameg­nemmaradást. Most pedig az absztrakt algebra, a Lie-csoportok, a folyamatos szimmetriák tulajdonságaiból sem sikerült továbblépnie a tudománynak, pedig nagyon közel kerültek a megoldáshoz. Ez a három zsákutca még nem jelentett volna gondot. A tudomány és a technika számára kínálkozott még egy újabb út, ezúttal a biológia, az élő természet felől, ahol az energia- és impulzusmegmaradás megsértése napi gyakorlat. A következő, III. fejezet erről az esetről szól, Victor Schauberger megfigyeléseiről munkásságáról.

Mielőtt azonban ezt megtennénk, használjuk fel a Curie-elv és a Noethet-tétel megfordítása kapcsán szerzett tapasztalatokat, az Orffyreus-gép rekonstrukciójához.