Egyenes vonalú és körmozgasok rövid attekintése

Egyenes vonalú és körmozgások rövid áttekintése

A mindennapos szóhasználat szerint munkát végzünk pl. egy test felemelésekor vagy egy kocsi elhúzásakor, éspedig annál nagyobb az általunk végzett munka, minél nagyobb erökifejtésre kényszerülünk, és ezen eröt minél hosszabb úton kell kifejtenünk. A mechanikai munka tehát a kifejtett erö és az általa létrehozott elmozdulás szorzata:

(Nm)

Pontosabban fogalmazva: a mechanikai munka az elmozdulás irányában kifejtett eröknek és az elmozdulásnak a szorzata (1.01. ábra).

Nyilvánvaló ugyanis, hogy elmozdulást létre nem hozó erö munkát nem végez! Ahhoz tehát, hogy a mechanikai munkáról, átviteléröl, a teljesítményröl stb. részletesen tudjunk beszélni, feltétlenül ismernünk kell a különféle mozgásokat. Röviden tehát tekintsük át az egyenes vonalú és körmozgásokkal kapcsolatos legfontosabb tudnivalókat.

1.1.1. Egyenes vonalú mozgás

1.1.1.1. Egyenes vonalú egyenletes mozgás

Egyenes vonalú egyenletes mozgást végez egy test, ha pályája egyenes, és azonos idötartamok alatt azonos úthosszakat fut be. Ezen úthosszak és idötartamok hányadosa tehát állandó; ezt az állandó értékeket az egyenes vonalú egyenletes mozgás sebességének nevezzük.

(m/s)

Az összefüggés általánosítása céljából differenciális formában:

(m/s)

azaz a sebesség az út idö szerinti elsö differenciahányadosa. A fenti egyszerü differenciálegyenlet integrálása után a jól ismert

(m/s)

összefüggést kapjuk végeredményül. A megtett utat az idö függvényében, valamint a sebességet az idö függvényében az 1.02. ábra szemlélteti. A két diagram kapcsolata a bejelöltek és a differenciálhányados geometriai jelentéséröl tudottak alapján nyilvánvaló.

A tapasztalat szerint ahhoz, hogy egyenes vonalú egyenletes mozgást fenn tudjuk tartani egy bizonyos eröt kell kifejtenünk, mégpedig állandó nagyságú eröt. Ennek az erönek a nagysága szigorúan meghatározott. Nagyobb erö hatására a tárgy sebessége növekedni, kisebb erö hatására csökkenni fog. Mindezt egybevetve Newton II. törvényével, mely szerint a sebesség megváltozásához mindig valamilyen erö szükséges, mondhatjuk hogy egyenes vonalú egyenletes mozgás fenntartásához éppen akkora eröt kell kifejtenünk (F_t), mely erö a mozgás közben keletkezö ellenállási erövel (F_e) éppen egyensúlyt tart (1.03. ábra ).

1.1.1.2. Egyenes vonalú egyenletesen változó mozgás

Amennyiben a sebesség idöben nem állandó, hanem növekszik (csökken), úgy gyorsuló (lassuló) mozgásról beszélünk. Eseteinkben a szakaszonként lineárisnak tételezzük fel, vagy legalább szakaszonként lineárisnak.

Írható tehát, hogy:

(m/s²)

Ezt az állandó értéket nevezzük gyorsulásnak. A lassulás negatív elöjelü gyorsulásnak tekinthetö. Integrálva a fenti egyszerü differenciálegyenletet:

A gyorsulás tehát a sebesség idö szerinti elsö differenciálhányadosa; az elözö fejezetben leírtak következtében, az útnak pedig az idö szerinti második differenciálhányadosa. A megtett út az idö függvényében tehát a:

összefüggés integrálásával kapható meg, ahol az integrálást az idö szerint kell végezni.

   feltételezve, hogy a = állandó

amely utóbbi összefüggés szintén ismert.

Az út, a sebesség és gyorsulás idöbeni változását az 1.04. ábra szemlélteti. Az út az idö függvényében egy másodfokú parabola szerint változik. A parabola bármely pontjához húzott érintöjének iránytangense éppen az ott érvényes sebességet adja, hiszen:

A sebesség idöbeli változását - mivel a gyorsulás állandó - egy egyenes szemlélteti, melynek iránytangense:

Mivel , ezért a t₁ és t₂ idöpontok közt eltelt idö alatt megtett út , ami a görbe alatti területtel arányos.

A fentebb levezetett összefüggésnek un. nulla kezdösebességü mozgásokra vonatkoztak. Amennyiben a mozgó testnek a megfigyelés kezdetekor valamekkora sebessége van (v₀), úgy t idö múlva:

lesz a sebessége, a közben megtett út pedig:

Szemléletesen belátható ez az 1.05. ábra alapján.

Az összefüggésekben a negatív elöjel arra az esetre vonatkozik, ha nem gyorsulásról (sebességnövekedésröl), hanem lassulásról (sebességcsökkenésröl) van szó. Ha a lassulás végén a sebesség zérussá válik, úgy az erre a szakaszra vonatkozó vizsgálatainkat végezhetjük úgy is, hogy a mozgás irányát gondolatban "megfordítjuk", aminek következtében az egyszerü összefüggésekkel számolhatunk.

Mint korábban megállapítottuk, gyorsuló ill. lassuló mozgás akkor jön létre, ha a mozgást elöidézö erö nagyobb ill. kisebb, mint a mozgást gátolni igyekvö erö. Ez az erötöbblet (hiány) Newton törvénye értelmében kifejezhetö a test tömegének és gyorsulásának (lassulásának) szorzataként. Tehát

Lásd az 1.06. ábrát. Szavakban kifejezve ezt a törvényt: minden test megmarad nyugalmi állapotában vagy egyenes vonalú egyenletes mozgásában, ha külsö erök nem kényszerítik ennek megváltoztatására. Ez azt jelenti, hogy a mozgásállapot minden megváltozása egy erövel kapcsolatos, amely a gyorsulással egyirányú és azzal közvetlenül arányos. Ez a törvény igen nagy sebességek esetét kivéve minden nyugvó ill. egyenes vonalú egyenletes mozgást végzö rendszer esetén általános érvényü.

1.1.2 Körmozgás

Egyenletes körmozgás

Egyenletes körmozgást végez egy test, ha pályája kör alakú és egyenlö idök alatt egyenlö hosszúságú íveket fut be. Írható tehát, hogy:

Az ív hossza ugyanis a körpálya sugarának és a radiánban mért ívszögnek a szorzata. Mint látjuk, egy új megfogalmazást is tehetünk az egyenletes körmozgásról. Ezek szerint egyenletes a körmozgás, ha az adott test egyenlö idöközök alatt egyenlö íveket fut be, ami azt jelenti, hogy:

állandó

amit w- val jelölünk és szögsebességnek nevezzük.

A fentebb említett sebesség pedig a körmozgás kerületi sebessége.

Egyenletes körmozgás esetén azért is jobb a szögsebesség állandóságáról beszélni, és nem a kerületi sebesség állandóságáról, mert a kerületi sebesség szigorúan véve nem állandó. Gondoljunk arra, hogy a kerületi sebességvektor és ennek az iránya mindig az érintö egyenesének irányába mutat, azaz pontról-pontra más, mindamellett nagysága valóban változatlan. Mindennek következtében léteznie kell egy erönek, mely erö létrehozza ezt a folytonos sebességváltozást; mint Newton törvénye kimondja, a sebesség megváltozása mindig ,kapcsolatban áll valamilyen erövel.

Vizsgáljuk meg az 1.07. ábrát. Mint látható, két pont kerületi sebességvektora - mely két pont között dj szög van - között az összefüggés:

A felrajzolt háromszögben - mivel a szög differenciálisan kicsi - dx hossza megegyezik egy ívdarab hosszával, mely a következöképpen írható fel:

A sebesség idöbeli megváltozása:

Ezt a gyorsulást centripetális gyorsulásnak nevezzük. A gyorsulás irányát úgy állapíthatjuk meg, hogy a definiáló egyenlet vektoriálisan írjuk fel,

ami azt mutatja, hogy a gyorsulás iránya megegyezik a sebességváltozás vektorának (dx) irányával (1.07. ábra). Ha dj szög kellöen kicsiny, akkor dx gyakorlatilag meröleges a kerületi sebesség irányára. Tehát a centripetális gyorsulás a körpálya középpontja felé mutat, amit neve is jelez.

Most már Newton törvénye szerint meghatározhatjuk annak az erönek a nagyságát, amely erö a test körpályán tartásához szükséges:

Ez az erö természetesen szintén a körpálya középpontja felé mutat, hiszen irányát a gyorsulás iránya határozza meg (1.08. ábra).

1.1.2.2. Egyenletesen változó mozgás

Természetesen, ha w nem állandó, hanem az idö függvényében egyenletesen növekszik vagy csökken, úgy egyenletesen gyorsuló ill. lassuló körmozgásról beszélünk. Ha van szögsebesség változás - amint azt az egyenletesen gyorsuló ill. lassuló mozgásnál is feltételeztük, akkor:

                  (1/s²)

Ezen állandó értéket szöggyorsulásnak nevezzük és e - nal jelöljük:

(1/s²)

Már az eddigiek alapján is megfigyelhetünk néhány hasonlóságot az egyenes vonalú és a körmozgások között. A szögsebesség az ívszög elsö differenciálhányadosa, a szöggyorsulás pedig a második differenciálhányadosa; hasonlóan az egyenes vonalú mozgás sebességéhez és gyorsulásához, melyek az út elsö, ill. második differenciálhányadosai. További bizonyítás nélkül: az egyenes vonalú mozgásoknál felirt valamennyi összefüggés felírható a körmozgásoknál is, ha v sebesség helyébe w szögsebességet, s út helyébe j ívszöget, és a gyorsulás helyébe pedig e szöggyorsulást írunk.

Tehát egyenletes körmozgásnál:

(1/s)

egyenletesen gyorsuló körmozgásnál (nulla kezdösebesség)

(1/s²)

( rad )

ill. nem nulla kezdösebesség esetén

(1/s)

(rad)

A negatív elöjel a lassuló körmozgásra vonatkozik.

Gyorsuló körmozgás esetén beszélhetünk természetesen a kerületi sebesség változásáról is azaz bevezethetjük a kerületi gyorsulás fogalmát

(m/s²)

Newton törvénye gyorsuló körmozgásra is érvényes, de a gyorsulás helyébe a kerületi gyorsulás írandó

(N)

A gyorsuló körmozgást általában egy, a középpontba ható nyomaték hozza létre, melynek bevezetésével

(Nm)

Ebben az összefüggésben az   mr² szorzat a gyorsuló körmozgást végzö m tömegü anyagi pont tehetetlenségi nyomatéka, jele q, mértékegysége pedig (kg m²).   Kiterjedéssel bíró test tehetetlenségi nyomatékát integrálás utján határozhatjuk meg

ahol az integrálást a teljes tömegre ki kell terjeszteni. A tehetetlenségi nyomaték meghatározását néhány egyszerübb esetben az adott feladat kapcsán a késöbbiek során fogjuk elvégezni.

A tehetetlenségi nyomaték bevezetésével tehát Newton törvényét gyorsuló és lassuló körmozgásokra a következö alakban írhatjuk fel

(Nm)

Az egyenes vonalú gyorsuló mozgás F = m a összefüggésével összevetve látható, hogy az egyenes vonalú mozgás m tömegének forgó mozgásnál q tehetetlenségi nyomaték, míg a gyorsulásnak az e szöggyorsulás felel meg.

Látható tehát, hogy az egyenes vonalú mozgás és körmozgás összes jellemzö mozgásegyenletei elvileg teljesen azonosak.

Ezzel rövid áttekintésünket befejezzük, hangsúlyozva, hogy vizsgálatainkban csak azokat a kérdéseket érintettük, melyek elözetes ismerete a továbbiak megértéséhez okvetlenül szükséges. A részletes ismeretek a mechanika c. tantárgy tanulmányozása során szerezhetök meg.