A stacionárius elektromos áram törvényei

1. Az áramsűrűség forrásbősége

Tekintsük, hogy a vezetőben egyenáram folyik (tehát és ) és szemléltesse a 3.2 ábra a vezető egy olyan darabját, ahol a vezető keresztmetszete változó méterű.

3.2 ábra

Stacionárius áramlás esetében a vezető bármely keresztmetszetén egységnyi idő átfolyó töltéshordozók száma azonos kell legyen. Ellenkező esetben töltéshordozók kellene keletkezzenek vagy eltűnjenek ami viszont nem lehetséges. Tekintsük, hogy 323h71d egységnyi idő alatt a felületen töltés lép be a zárt térfogatba és a felületen lép ki. A fenti kijelentésnek megfelelően . Ahhoz, hogy megkapjuk a 3.2 ábrán feltüntetett véges és felületeken áthaladó töltéshordozók számát, összegeznünk minden a fentiekben leírt elemi felület hozzájárulását, ami matematikailag integrálok felírását jelenti. Felhasználva a (3.5) összefüggést írhatjuk, hogy:

amely tulajdonképpen nem más, mint az áramsűrűség vektornak a két érintett felületre vonatkoztatott fluxusai közötti egyenlőség. Mivel a vezető oldalfalain keresztül nincs töltéshordozó mozgás, a (3.6) összefüggést írhatjuk a térfogatot körülzáró zárt felületre. Ilyen formán azt kapjuk, hogy az áramsűrűség vektornak a zárt felületre vonatkoztatott fluxusa nulla (3.7).

Felhasználva a vektoranalízisből ismert Gauss-Osztrogradszkij-integrálegyenletet, a fenti felületi integrált átalakíthatjuk egy a zárt felület által határolt térfogaton vett integrálra:

Az itt megjelenő mennyiség nem más, mint a divergenciája (forrásbősége). Mivel a kifejezés nullával egyenlő, ez csak úgy lehetséges, ha maga az integrálandó mennyiség értéke egyezik meg nullával, így a divergenciája nulla.

Ez azt jelenti, hogy az áramsűrűség vektortérnek nincs forrása, vagyis az áramsűrűség vektorterének erővonalai zártak.

2. A kontinuitási egyenlet

Az 1.3.1. ponthoz hasonló elrendezést tekintünk a továbbiakban is, azonban feltételezzük, hogy az áramerősség időben nem állandó, tehát , tehát a teljes felületre számított fluxus időben változó lehet, de nullától különböző valamint a felületen belépő töltésmennyiség nem egyenlő a töltésmennyiséggel (3.2 ábra). Ennek természetes következménye, hogy a tekintett térfogatban a töltések száma időben meg kell változzon, amit egy mennyiséggel veszünk figyelembe. Két lehetséges folyamatot kell megvizsgáljunk ahhoz, hogy a fentieknek pontos matematikai kifejezést adjunk. Amennyiben az áram erőssége csökken, a teljes felületre számított fluxus pozitív, de csökken a térfogatban lévő töltéshordozók száma, amennyiben pedig az áramerősség nő, a teljes fluxus negatív, viszont megnő a térfogatban lévő töltéshordozók száma. Ennek megfelelően a teljes fluxus minden esetben a töltés időbeli változásának negatív értékével kell egyenlő legyen (3.10)-nek megfelelően.

Ezt az összefüggést nevezzük kontinuitási egyenletnek, amely magába foglalja a töltésmegmaradás elvét is.

3. Az stacionárius áram elektromos terére vonatkozó megállapítások

a)      Az elektromos tér forrásbősége.

Tekintsük kiindulási pontnak az elektrosztatikában megismert Gauss törvényt, mely kimondja, hogy az elektromos térerősség vektorának zárt felületre vonatkoztatott fluxusa arányos a zárt felület által határolt térfogatban lévő eredő töltésmennyiséggel és a következőképpen fejezhető ki:

A stacionárius elektromos áramot a töltéshordozókra ható elektromos tér tartja fent. Alkalmazzuk a Gauss-törvényt tehát a stacionárius elektromos áram esetére. Ehhez a (3.11) összefüggés jobb oldalát kell megvizsgáljuk. Egy zárt felület által határolt térfogatot kell tekintsünk, amelybe töltéshordozók érkeznek, de ugyanakkor távoznak is. Mivel a töltéshordozók áramlása stacionárius a beérkező és a távozó töltéshordozók száma azonos kell legyen. A Gauss-törvény alkalmazásánál azonban figyelembe kell vennünk egy előjelszabály is, nevezetesen azt, hogy minden belépő töltés negatív előjellel és minden kilépő töltés pozitív előjellel kell szerepeljen. Ha ezt figyelembe vesszük, a Gauss-törvényt a következő alakban kell felírjuk:

ahol , tehát

Alkalmazzuk (3.13)-ra Gauss-Osztrogradszkij-integrálegyenletet és kapjuk, hogy

melyből következik, hogy a stacionárius áram elektromos terének divergenciája nulla, tehát az elektromos tere forrásmentes:

Ez a törvény a stacionárius áramra vonatkozó I. Maxwell-törvény.

b)      Az elektromos tér örvényessége.

Tapasztalati tény (ismert az elektrosztatikából), hogy ha egy töltés stacionárius elektromos térben zárt görbe mentén mozog, az elektromos térnek a töltésen végzett munkája nulla, vagyis:

Mivel a töltés nullától különböző, a fenti összefüggésből következik, hogy az elektromos tér zárt görbére számított cirkulációja nulla:

Alkalmazzuk (3.17)-re a Stokes-integrálegyenletet:

tehát az elektromos tér örvénymentes, vagyis konzervatív.

Ez a törvény a stacionárius áramra vonatkozó II. Maxwell-törvény. A stacionárius elektromos tér örvénymentességéből következik többek között az is, hogy minden pontot jellemezhetünk egy adott potenciállal és a pontok között potenciálkülönbség, vagy más néven feszültség van (pl. a és pontok között feszültség van, míg ha az elektromos tér egy töltést az A-tól B pontba szállít, rajta munkát végez.