online kép - Fájl  tube fájl feltöltés file feltöltés - adja hozzá a fájlokat online fedezze fel a legújabb online dokumentumok Kapcsolat
   
 

Letöltheto dokumentumok, programok, törvények, tervezetek, javaslatok, egyéb hasznos információk, receptek - Fájl kiterjesztések - fajltube.com

 

Online dokumentumok - kep
   
kategória
 

Biológia állatok Fizikai Földrajz Kémia Matematika Növénytan Számítógépes
Filozófia
Gazdaság
Gyógyszer
Irodalom
Menedzsment
Receptek
Vegyes

 
 
 
 













































 
 

Osztas és oszthatósagok

matematika

Fájl küldése e-mail Esszé Projekt


egyéb tételek

 
Vizsga matek
Szamsorozatok és tulajdonsagaik (korlatossag, monotonitas, konvergencia), nevezetes szamsorozatok
Relaciós algebra, relaciós teljesség
Konverzió A Szamrendszerek Között
Egybevagósagi transzformaciók, szimmetrikus sokszögek.
Osztas és oszthatósagok
 
 

Osztás és oszthatóságok

 

Maradékos osztás definíciója: az a művelet, amely két egész számmal dolgozik. N=egész szám m> 0 egész. Meghatározza a q és r egészt.

n = m × q + r           0 < = r < m

n =osztandó

m =osztó (amivel osztunk)

q =hányados = n div m

r =maradék = n mod m

Példa :    n=19  m=3  à 19=3×6+1                           0<=1<3

                                       19 div 3=6  

                                       19 mod 3=1



Elvárások:   Létezés (elvégezhetőség)

                     Egyértelműség

Tétel: Legyen m>0 egész szám. Minden egészre létezik olyan q vagy r egész szám n=m×q+r

A q és az r egyértelműen meghatározott.

Bizonyítás:   1. Létezés

         Legyen m>0 egész

         n tetszőleges egész         

         Létezik olyan q egész, hogy az m×q<=n<m(q+1) à mq+m

         0<=n-m×q<m

         Legyen r=n-m×q

         Látható: 0<=r<m mivel r=n-m×q à n=m×q+r                

                    

                     2. Egyértelműség                                              |n=m×q1+r1 (0<=r1<m)

                                                                                                |n=m×q2+r2 (0<=r2<m)

         Feltehető, hogy r1=>r2                                                (-)            0=m(q1-q2)+(r1-r2)

         0<=r1-r2<m                                                                     r1-r2=m(q2-q1)

                                                                  Lehet-e a q2-q1<0?                                  Nem lehet!

                                                                  Lehet-e a q2-q1>0     r1-r2=m(q2-q1)>m  Nem lehet!

                                                                                  q2-q1=0à q1=q2         r1=r2

Következményei:  - Osztó: 2

-         Maradék: 0, 1

-         Tetszőleges egész szám: n

n=2k+0=2k : - páros számok

n=2k+1 : - páratlan számok

Kérdés: egy szám négyzete néggyel osztva milyen maradékot ad?

        n=2k à n2=4k2+0 n2 mod2=0

        n=2k+1à n2=4k2+4k+1=4(k2+k)+1 n2 mod 4=1

Tulajdonságai:

Definíció: n egész osztója m egésznek ha létezik olyan q egész szám, hogy az n×q=m

Jelölés: n (osztó)/m (többszörös)

Lineáris kombináció: az m és n egészek α×m+β×n összegét értjük.

Példa:  n=13           2×21+8×13 (lineáris kombináció)

            m=21         (együtthatók)

α=ß=1 

Tétel:

1. Ha m/n1 és m/n2 à m/α×m1+ß×m2

2. m/n1 à m/n1×n2

3. Ha m1/n1 és m2/n2 à m1×m2/n1×n2

4. +-1/n   n/0

                              Bizonyítás: 1. Legyen m/n1 à n1=m×q1 és m/n2à n2= m×q2

                                                           α×n1+ß×n2=α×m×q1+ ß×m×q2

                                                                              (α×q1+ß×q2)×m=m×q

                                                   2. Tfh m/n1=? N1=m×q

                                                           N1×n2=m(q×n2)à m/n1×n2

                                                                   3. m1|n1à n1=m1×q1

                                                                         m2|n2à n2=m2×q2

                                                      szorzás  n1×n2=m1×q1 m2×q2=(m1×m2)×(q1×q2)=m1×m2×q

m1×m2|n1×n2

Definíció: az 1 osztóit egységeknek nevezzük.

Tétel:                                            1. m|m (reflexive tulajdonság)

                                                      2. (tranzitív tulajdonság) Ha m|n és n|k à m|k

            Tfh m|n és n|k

                             

             n=m×q      k=n×t

            k=m(q×t)à m|k

                                                      3. Ha m|n és n|m akkor n=+-m

            1. d/n ßà-d/n


                N=d×q à n=(-d)×(-q) ßà-d/n

                 n=(-d)×q à n=d×(-q) ßà d/n

Ha ismerjük egy szám pozitív osztóit akkor ismerjük az összes osztót.

            2. n>0

               d/n ßà d/-n

            3. Pozitív szám pozitív osztója nem lehet nagyobb az adott számnál. n>0 osztóit: halmazban kell kezdeni. –d/n n=d×q ekkor nemcsak d, hanem q adott à célszerű osztópárokról beszélni.

Ha (d, q) osztópár akkor lehet-e d és q >√n d, q>n Nem igaz.

D és q közül legalább az egyik kisebb vagy egyenlő mint [√n]  à elegendő n halmazt vizsgálni.

Osztópárok meghatározása

k

n div k

n mod k

Osztópár

1

40

0

(1,40)

2

20

0

(2,20)

3

13

1

-

4

10

0

(4,10)

5

8

0

(5,8)

6

6

4

-

Algoritmus S=(1,40), (2,20), (4,10), (5,8)

Indukció és redukció fogalma!

                                                               n

1. Jelölés: ∑ (szigma) ejtsd: szumma   ∑ a×i=a1+a2+a3………an

                                                            i=1

Találat: 1651