online kép - Fájl  tubefájl feltöltés file feltöltés - adja hozzá a fájlokat onlinefedezze fel a legújabb online dokumentumokKapcsolat
  
 

Letöltheto dokumentumok, programok, törvények, tervezetek, javaslatok, egyéb hasznos információk, receptek - Fájl kiterjesztések - fajltube.com

 

Online dokumentumok - kep
  

Matematika A1 vizsga elméleti kérdések

matematika

Fájl küldése e-mail Esszé Projekt



egyéb tételek

 
Vizsga matek
Matematika A1 vizsga elméleti kérdések
 
 

Matematika A1 vizsga elméleti kérdések



Definíciók


1. Peano-axiómák

A természetes számok halmazát (N) a Peano-axiómák segítségével definiáljuk.

1. r az N-nek N-re történő bijektív leképezése

2. A 0 nem eleme az r értékkészletének ()

3. ha és és esetén , akkor





A rákövetk 121j97b ezés-függvény :

; 


2. Komplex számok n-edik gyökének meghatározása, áttérés algebrai alakról trigonometrikus alakra.

Komplex számok n-edik gyökének meghatározása trigonometrikus alakban célszerű. Az algebrai alak: , a trigonometrikus alak: .

Az áttérést algebrai alakról trigonometrikus alakra a Moivre-formulák segítségével végezzük:

; ;

Komplex szám n-edik gyökének meghatározása:

, ahol ;

A gyökök a komplex számsíkon egy origó középpontú, sugarú körbe írt szabályos n-oldalú sokszög csúcsaiban helyezkednek el.


3. Valós számsorozat definíciója, legalább 3 nevezetes sorozat felsorolása és rövid jellemzésük.

Valós számsorozaton olyan függvényt értünk, melynek értelmezési tartománya a nemnegatív valós számok halmaza (N+), értékkészlete pedig a valós számok halmaza (R ).

- megadása lehet explicit (pl. ) vagy rekurzív (pl. )

Nevezetes sorozatok:

()

  • Ha q>1, a sorozat szigorúan monoton nő és divergens,
  • Ha q=1, a sorozat korlátos, konvergens:
  • Ha q<1, a sorozat szigorúan monoton csökken, korlátos, konvergens:

Bizonyítás: Bernoulli-egyenlőtlenség segítségével

()

A sorozat korlátos és konvergens:

Bizonyítás: rendőr-elvvel

(  A sorozat korlátos , szigorúan monoton növekvő és konvergens:


4. Valós számsorozat határértéke (minden típusának megadása)

Egy valós számsorozat konvergens, ha esetén küszöbszám, melyre esetén . Ilyenkor az a valós számot a sorozat határértékének nevezzük.
Jelölése: vagy .

Ha egy sorozatnak létezik véges határértéke, akkor konvergensnek, ha nem létezik, akkor divergensnek mondjuk.

Egy valós számsorozat végtelenhez divergál, ha esetén küszöbszám, melyre esetén . Jelölése: vagy .

Egy valós számsorozat a mínusz végtelenhez divergál, ha esetén küszöbszám, melyre esetén . Jelölése: vagy .



5. Függvény fogalma, értelmezési tartománya, értékkészlete

Ha A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük B halmaz pontosan egy elemét, akkor ezt a leképezést függvénynek nevezzük. Jelölése:

Az értelmezési tartomány azon elemek halmaza, melyekhez a függvény hozzárendel egy-egy elemet a B halmazból. Jele:

Az értékkészlet azon B-beli elemek halmaza, melyeket f ténylegesen hozzárendel A valamelyik eleméhez. Jele:


6. Egyváltozós valós-valós függvények határértéke

Cauchy-féle definíció:

Legyen az egyváltozós valós-valós f függvény () értelmezve az x0 pont valamely környezetében. Az f függvény határértéke x0 helyen létezik és értéke A akkor és csak akkor, ha esetén úgy, hogy ha akkor

Heine-féle definíció:

Legyen az egyváltozós valós-valós f függvény () értelmezve az x0 pont valamely környezetében. Az f függvény határértéke x0 helyen létezik és értéke A akkor és csak akkor, ha valós számsorozatra, ahol és , teljesül, hogy


7. Egyváltozós valós-valós függvény folytonossága

Legyen az egyváltozós valós-valós f függvény () értelmezve az x0 pont valamely környezetében. Az f függvényt x0 helyen folytonosnak nevezzük, ha esetén úgy, hogy ha , akkor


8. Egyváltozós valós-valós függvény differenciálszámítása

Egy egyváltozós valós-valós függvény differenciálható (deriválható) az x0 pontban és differenciál-hányadosa (deriváltja) A akkor és csak akkor, ha a határérték létezik és véges.

A definíció lineárisan megfogalmazva:

Legyen az egyváltozós valós-valós f függvény () értelmezve az x0 pont valamely környezetében. A függvény deriválható az x0 pontban akkor és csak akkor, ha és függvény úgy, hogy és ha , akkor . Ilyenkor az A számot az f függvény x0 helyen vett differenciálhányadosának nevezzük.


9. Egyváltozós valós-valós függvény monotonitása, konvexitása

Az egyváltozós valós-valós f függvényt () az x0 helyen

a)      monoton növekvőnek

b)      szigorú monoton növekvőnek

c)      monoton csökkenőnek

d)      szigorú monoton csökkenőnek

nevezzük, ha x0 egy sugarú környezetére () igaz, hogy számokra



a)

b)

c)

d)


Legyen az egyváltozós valós-valós f függvény () x0 helyen deriválható, és x0 sugarú környezetében értelmezhető (). A függvényt x0 helyen

a)      konvexnek

b)      konkávnak

mondjuk, ha esetén

a)

b)


10. Lokális szélsőérték és inflexiós pont definíciója

Az egyváltozós valós-valós f függvénynek () x0 helyen

a)      lokális minimuma

b)      lokális maximuma

van, ha x0-nak létezik egy olyan környezete, amelyre esetén

a)

b)


Ha egy egyváltozós valós-valós f függvénynek () egy adott pontban létezik érintője, és ebben a pontban a függvény se nem lokálisan konvex, se nem lokálisan konkáv, akkor ezt a pontot a függvény inflexiós pontjának nevezzük.


11. Riemann szerinti integrálhatóság fogalma

Legyen az f egyváltozós valós-valós függvény () korlátos az intervallumon. Az f függvény Riemann szerint integrálható az intervallumon, ha az intervallum minden lehetséges felosztásához tartozó alsó illetve felső integrálközelítő összegeinek ( és ) szuprémuma illetve infinuma megegyezik, vagyis ha .

;   

Az alsó integrálközelítő összeg: , ahol mi az f függvény minimuma felosztás i-edik részintervallumán.

A felső integrálközelítő összeg: , ahol Mi az f függvény maximuma felosztás i-edik részintervallumán.


12. Határozott integrál, primitív függvény

Ha egy egyváltozós valós-valós f függvény () Riemann-integrálható az intervallumon, akkor az alsó és felső integrálközelítő összegeinek közös felső- illetve alsó korlátját (az számot, lsd előző pont) az f függvény intervallumon vett határozott integráljának nevezzük. Jelölése:

Egy egyváltozós valós-valós f függvény () primitív függvényének nevezzük azt az F függvényt (), amely az értelmezési tartomány minden pontjában differenciálható, és esetén


13. Improprius integrálok fő típusainak definíciói

Legyen adott egy egyváltozós valós-valós f függvény (), melyre minden esetén (). Ekkor az kifejezést az f függvény improprius integráljának nevezzük, feltéve, ha a jobb oldalon álló határérték létezik és véges.

Hasonlóan értelmezzük az improprius integrált is.

Legyen adott egy egyváltozós valós-valós f függvény (), melyre minden esetén (). Ekkor az kifejezést az f függvény improprius integráljának nevezzük, feltéve, ha a jobb oldalon álló határérték létezik és véges.

Hasonlóan értelmezzük az  improprius integrált is.


Tételek



1.Bernoulli-egyenlőtlenség és legalább egy alkalmazása

Bernoulli-egyenlőtlenség: ;   (

Alkalmazási példa:

1. () sorozat végtelenbe divergálásának bizonyítása. . A jobboldali kifejezés (Bernoulli-egyenlőtlenség segítségével adódik) monoton növekvő számtani sorozat, ami végtelenbe divergál, tehát az eredeti sorozat is. ()

korlátosságának bizonyítása


2. Bolzano és Weierstrass tételei

Weierstrass-tétel: Legyen az f () függvény folytonos az intervallumon (), ekkor létezik olyan úgy, hogy esetén

Bolzano-tétel:  Legyen az f függvény folytonos az intervallumon (), ekkor a függvény felveszi az és közötti összes értéket.


3. Inverz függvény differenciálási szabálya

Legyen az f () függvény deriválható az pontban és invertálható az a pont környezetében. Tegyük fel, hogy . Ekkor ebben a környezetben az inverz függvény ( differenciálható, és (, )

Más alakban:


4. Az összetett függvény differenciálási szabálya

Adottak f és g () függvények (). Legyen f függvény deriválható az pontban, g pedig deriválható az x0 pontban. Ekkor az összetett függvény is deriválható az x0 pontban (láncszabály):



Más alakban:


5. Rolle tétele és egy példa az alkalmazására

Rolle-féle középértéktétel: Legyen az f  () függvény differenciálható az intervallumon, és . Ekkor úgy, hogy

Geometriai jelentése: Az intervallumon létezik olyan pont, ahol a függvény érintője párhuzamos az x tengellyel.

Alkalmazási példa: a Cauchy-féle középértéktétel bizonyítása


6. Lagrange-féle középértéktétel

Legyen az f  () függvény differenciálható az intervallumon. Ekkor úgy, hogy

Geometriai jelentése: Ha és , akkor az intervallumon létezik olyan pont, ahol a függvény érintője párhuzamos az AB húrral.


7. Cauchy-féle középértéktétel

Legyenek az f és g () függvények deriválhatók az intervallumon és tegyük fel, hogy ; esetén. Ekkor úgy, hogy


8. Lokális szélsőérték létezésének elégséges feltétele

Legyen az f  () függvény differenciálható az intervallumon és a helyen . Ha esetén és esetén , akkor az f függvénynek helyen lokális maximuma van.

Ha a tételben a két relációjelet megfordítjuk, a lokális minimum létezésének elégséges feltételét kapjuk.


9. Lokális konvexitás elégséges feltétele

Legyen az f  () függvény legalább kétszer differenciálható az x0 pontban és annak egy környezetében. Ekkor ha , akkor az f függvény x0 pontban konvex, ha pedig , akkor konkáv.


10. Az inflexiós pont létezésének elégséges feltétele

Legyen az f  () függvény legalább kétszer differenciálható az x0 pontban és annak egy környezetében, továbbá . Ekkor ha az x0 helyen előjelet vált, akkor az f függvénynek x0 helyen inflexiós pontja van.


11. Bernoulli-L’Hospital szabály

Legyenek az f és g () függvények differenciálhatók az x0 pont egy környezetében, továbbá valamint . Ekkor , amennyiben ez utóbbi határérték létezik és véges, vagy .

Megjegyzések:

  1. A tétel esetben is érvényes
  2. A tételben x0 helyett is állhat

12. Newton-Leibniz szabály

Legyen az f  () függvény integrálható, az F () függvény pedig folytonos az intervallumon és differenciálható az intervallumon, továbbá esetén . Ekkor


13. Helyettesítéses és parciális integrálás elve

Helyettesítéses integrálás:

Legyen az () függvény differenciálható a K intervallumon, továbbá létezik az f(x) () függvénynek a intervallumon primitív függvénye: (. Ekkor függvénynek is létezik primitív függvénye:

Parciális integrálás:

Legyenek f és g () differenciálható függvények H halmazon, valamint -nak létezik itt primitív függvénye. Ekkor

Határozott integrállal: Legyenek és függvények integrálhatók intervallumon. Ekkor


14. Ívhossz, forgástest térfogat, forgástest palást, szektorterület kiszámítása

Ívhossz kiszámítása: Legyen az f függvény () folytonos és integrálható az intervallumon. Legyen és . Ekkor az AB ív hossza: ;

Paraméteresen adott függvény esetén ():

Forgástest térfogatának kiszámítása: Legyen az f függvény () folytonos és integrálható az intervallumon. Forgassuk meg a függvény görbéjét az x tengely körül. Az így kapott forgástest térfogata:

Forgástest palástterületének kiszámítása: Legyen az f függvény () folytonos és integrálható az intervallumon. Forgassuk meg a függvény görbéjét az x tengely körül. Az így kapott forgástest palástjának területe: ;

Paraméteresen adott függvény esetén:

Szektorterület kiszámítása: Legyen az r polárkoordinátákkal megadott függvény () folytonos és integrálható az intervallumon. Legyen és , O pedig az origó. Ekkor ABO szektor területe:



: 2714