online kép - Fájl  tubefájl feltöltés file feltöltés - adja hozzá a fájlokat onlinefedezze fel a legújabb online dokumentumokKapcsolat
  
 

Letöltheto dokumentumok, programok, törvények, tervezetek, javaslatok, egyéb hasznos információk, receptek - Fájl kiterjesztések - fajltube.com

 

Online dokumentumok - kep
  

Differencialegyenletek megoldasa



Fájl küldése e-mail



egyéb tételek

 
 
 

Differenciálegyenletek megoldása


1. Állandó együtthatós és normál elsörendü, lineáris, homogén d.e.

a*y’+b*y = 0 és f(x)*y’+q(x)*y = 0

1. y’=dy/dx behelyettesítés

2. Változók szétválasztása

3. Integrálás dy és dx szerint

4. Megoldás


2. Elsörendü, lineáris, inhomogén d.e.



a(x)*y’+b(x)*y = f(x)

1. Az a(x)*Y’+b(x)*Y = 0 homogén, szétválasztható változójú d.e. általános megoldását meghatározzuk. [yh(x)]

2. Az inhomogén egyenlet partikuláris megoldása konstansvariálással.

y0(x) = c(x)*yh(x)

3. y0(x)-t behelyettesítjük az eredeti inhomogén egyenletbe és elvégezzük a müveleteket.

4. c(x)-et integrálással meghatározzuk.

5. c(x)-et visszahelyettesítjük y0(x)-ba.

6. Az inhomogén egyenlet általános megoldása: y = y0 + yh


3. Hiányos másodrendü d.e.

1. y és y’ hiányzik

y’’ = f(x) – y meghatározása kétszeres integrálással történik

2. y hiányzik

y’’ = f(x;y’)

Helyettesítés: y’ = p(x)

A végén a p-re kapott általános megoldást integrálni kell.

3. y’ hiányzik

y’’ = f(x;y)

Karakterisztikus egyenlet felírása hiányos másodfokú egyenletként:

y’’ = k2; y = 1

4. x hiányzik

y’’ = f(y’;y)

Helyettesítés:

y’ = p(y) -> p’(y) = dp/dy -> y’’ = p’(y)*y’ -> y’’ = (dp/dy)*y’ = (dp/dy)*p(y)

Elöször csak y’’ helyére helyettesítsünk, majd amikor p-re kaptunk megoldást, akkor helyettesítsük be p helyére y’-t.


4. Állandó együtthatós másodrendü, lineáris, homogén d.e.

a*y’’+b*y’+c*y = 0

1. Karakterisztikus egyenlet felírása: a*k2+b*k+c = 0

y’’ = k2

y’ = k

y = 1

2. Megoldása:

D = b2 - 4a*c

D > 0

2 különbözö valós gyök: k1, k2

y = c1*ek1x + c2*ek2x

D = 0

1 valós gyök: k

y = c1*ekx + c2*x*ekx

D < 0

2 komplex gyök: k1,2 (egymás konjugáltjai)

k1,2 = a bi

y1 = eax*sin(bx); y2 = eax*cos(bx)

y = eax*(c1*sin(bx) + c2*cos(bx))


5. Állandó együtthatós másodrendü, lineáris, inhomogén d.e.

a*y’’+b*y’+c*y = f(x) [zavarótag]

1. Homogén rész megoldása

a*Y’’+b*Y’+c*Y = 0

Megoldás: yh (ld. 4. pont)

2. Inhomogén egyenlet megoldása

a) Konstansvariálással (mindig alkalmazható)

1. y0 = c1(x)*yh1 + c2(x)*yh2

y0’ és y0’’ meghatározása

2. Visszahelyettesítünk az inhomogén egyenletbe

3. Feltétel szabása: a derivált tagok összege zérus, azaz

c’1(x)*yh1(x) + c’2(x)*yh2(x) = 0

4. Az inhomogén egyenletböl és a feltételböl kialakult egyenletrendszer megoldása

5. c1(x), c2(x) meghatározása

6. Visszahelyettesítés y0-ba

b) Próbafüggvénnyel (csak állandó együtthatós d.e. esetén alkalmazható)

1. y0 szerkezetét hasonlónak tételezzük fel, mint f(x), a zavarótag szerkezetét

[Ha a homogén egyenlet egyik megoldása tartalmazza a zavarótagot, rezonancia lép fel. Ebben az esetben az y0-t úgy kell keresni, hogy  x-szel kell szorozni a próbafüggvényt mindaddig, míg meg nem szünik a rezonancia.]

f(x)

Példa

y0(x)

Elsöfokú:

2x-2

Ax + B

Másodfokú:

x2+2x

Ax2 + Bx + C

Harmadfokú:

x3+3

Ax3 + Bx2 + Cx + D

Negyedfokú:

4x4+x2

Ax4+ Bx3 + Cx2 + Dx +E

Exponenciális: A*ekx

8*e3x

B*ekx

Trigonometrikus:

3*sin(x)

5sin(3x) + cos(3x)

sin(5x) + cos(2x)

A*sin(x) + B*cos(x)

A*sin(kx) + B*cos(kx)

A*sin(5x) + B*cos(5x) + C*sin(2x) + D*cos(2x)

2. Meghatározzuk y0’-t és y0’’-t, és y0-al együtt behelyettesítjük az inhomogén egyenletbe

3. Meghatározzuk az együtthatókat és felírjuk y0-t

3. Általános megoldás (a homogén egyenlet általános megoldása + az inhomogén egyenlet partikuláris megoldása): y = y0 + yh

Találat: 13