online kép - Fájl  tube fájl feltöltés file feltöltés - adja hozzá a fájlokat online fedezze fel a legújabb online dokumentumok Kapcsolat
   
 

Letöltheto dokumentumok, programok, törvények, tervezetek, javaslatok, egyéb hasznos információk, receptek - Fájl kiterjesztések - fajltube.com

 

Online dokumentumok - kep
   
kategória
 

Biológia állatok Fizikai Földrajz Kémia Matematika Növénytan Számítógépes
Filozófia
Gazdaság
Gyógyszer
Irodalom
Menedzsment
Receptek
Vegyes

 
 
 
 













































 
 

Szamsorozatok és tulajdonsagaik (korlatossag, monotonitas, konvergencia), nevezetes szamsorozatok

matematika

Fájl küldése e-mail Esszé Projekt


egyéb tételek

 
Vizsga matek
Matematika A1 vizsga elméleti kérdések
Szamsorozatok és tulajdonsagaik (korlatossag, monotonitas, konvergencia), nevezetes szamsorozatok
 
 

Számsorozatok és tulajdonságaik (korlátosság, monotonitás, konvergencia), nevezetes számsorozatok.

Számsorozatok és tulajdonságaik

2,3,4,5,6 – véges számsorozat

pozitív páros számok növekvő sorrendbenvégtelen számsorozat

Def.: Végtelen számsorozatnak nevezzük az olyan függvényt, amelynek értelmezési tartománya a pozitív természetes számok halmaza, értékkészlete pedig a valós számok egy részhalmaza.

Jelölések:

Az sorozat első eleme: a1



                          n-edik eleme: an

Sorozatok megadási módjai:

1.       A tagok felsorolása (pl. 0, 3, 8, …)

2.       A sorozatot meghatározó függvény megadása (pl.: n® n2 1, ekkor a1 = 0, a2 = 3, …)

3.      Szöveges utasítással (pl: a négyzetszámoknál 1-gyel kisebb számok sorozata)

4.      Explicit képlet (n-edik tagra vonatkozó képlet) (Pl.: an = n2 1)

5.      Rekurzív képlet (a megelőző sorozatbeli elem(ek) segítségével állítjuk elő a sorozat következő tagját) (pl.: a1 = 0 és an = an-1 + 2n – 1, ha 2 £ n)

Számsorozatok tulajdonságai:

·         monotonitás

Def.: Az sorozat szigorúan monoton nő, ha bármely n-re an < an+1. (pl.: an = 2n)

Def.: Az sorozat szigorúan monoton csökken, ha bármely n-re an > an+1. (pl.: an = n)

Def.: Az sorozat monoton nő, ha bármely n-re an £ an+1. (pl.: f1 = 1, f2 = 1 és fn+1 = fn + fn-1)

Def.: Az sorozat monoton csökken, ha bármely n-re an ³ an+1. (pl.: an = an-1 konstans sorozat)

·         korlátosság

Def.: Az sorozat felülről korlátos, ha létezik olyan K valós szám, hogy minden n-re K ³ an.

(pl.: an = n, K = 1)

Def.: Az sorozat alulról korlátos, ha létezik olyan k valós szám, hogy minden n-re k £ an.

(pl.: an = n, k = 1)

Def.: Az sorozat korlátos, ha alulról és felülről is korlátos. (pl.: , K = 1 és k = 0)

·         konvergencia

Def.: Az sorozat konvergens, és határértéke az a valós szám, ha minden e pozitiv valós számhoz létezik egy olyan küszöbindex, hogy minden ennél nagyobb indexű tag távolsága a-tól e-nál kisebb.

(pl.:  )

Def.: Azokat a sorozatokat, amelyek nem konvergensek, divergensnek nevezzük.

Def.: Az sorozat a plusz (mínusz) végtelenbe tart, ha minden valós K esetében létezik olyan pozitív természetes N szám, hogy an > K (an < K), minden n > N esetében.

(pl.: an = n + 1, ; bn= -n3, )

·         periodicitás

Def.: Az sorozat periodikus, ha létezik olyan p pozitív egész szám, hogy minden n-re an = an+p. A legkisebb ilyen tulajdonságú p számot a sorozat periódusának nevezzük.

(pl.: 1, 2, 3, 1, 2, 3, … p = 3)

Tétel: Minden konvergens sorozat korlátos.

Tétel: Ha egy sorozat felülről (alulról) korlátos és monoton növő (fogyó), akkor konvergens.

Számtani sorozatok

Def.: Az olyan sorozatokat, amelyeknek a második tagtól kezdve minden tagját úgy kapjuk meg, hogy a sorozat előző tagjához hozzáadunk egy a sorozatra jellemző állandó számot (differencia), számtani sorozatoknak nevezzük.

Azaz: számtani sorozatoknál az an+1an (n pozitív természetes szám) különbség állandó.

Jelölés: d = an+1an (differencia)

Megadási képletek:

1.      an = an-1 + d, 2 £ n (rekurzív képlet)

2.      def. szerint: a2 = a1 + d; a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d; a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d= a1 + 3d; …; an = a1 + (n – 1)d (explicit képlet)

3.      an = dn + (a1 d)

Tulajdonságok:

differencia (d)

monotonitás

korlátosság


konvergencia

periodicitás

d > 0

szig. mon. nő

alulról korlátos

k = a1

divergens,

nem periodikus

d = 0 (konstans sorozat)

monoton nő/csök.

korlátos

k = K = a1

konvergens,

periodikus

p = 1

d < 0

szig. mon. csök.

felülről korlátos

K= a1

divergens,

nem periodikus

Tétel: A számtani sorozat bármely tagja a szomszédos, illetve a hozzá képest szimmetrikusan elhelyezkedő tagoknak a számtani közepe.

Azaz: , ha nk ³ 1

Bizonyítás:

Tétel: A számtani sorozat első n elemének összege:

Bizonyítás: Az összeg meghatározásához Gauss ötletét használjuk, azaz kétszer egymás alá felírjuk az összeadandó tagokat:

Sn = a1 + a2 + a3 +… + an-2 + an-1 + an

Sn = an + an-1 + an-2 +… + a3 + a2 + a1

Összegezve:

A fenti összeg minden tagja (a1 + an)-nel egyenlő, mivel

Így . A kifejezés mindkét oldalát kettővel osztva kapjuk a fenti képletet.

Mértani sorozatok

Def.: Az olyan sorozat, amelyeknek a második tagtól kezdve minden tagját úgy kapjuk meg, hogy a sorozat előző tagját megszorozzuk a sorozatra jellemző állandó számmal, mértani sorozatoknak nevezzük.

Azaz: mértani sorozatoknál az  hányados állandó.

Jelölés:  (kvóciens, quotiens)

Megadási képletek:

1.      , ha n ³ 2 (rekurzív képlet)

2.      def. szerint: , , , …,  (explicit képlet)

Tulajdonságok:

Tétel: A mértani sorozat bármely tagjának négyzete megegyezik a hozzá képest szimmetrikusan elhelyezkedő tagok szorzatával.

Azaz: , ha nk ³ 1

Bizonyítás: , ha . Ha q = 0, akkor is teljesül az állítás, mivel ekkor mindkét oldal 0-val egyenlő.

Következmény: Pozitív számokból álló mértani sorozat esetén bármely tag a hozzá képest szimmetrikusan tagok mértani közepe.

Tétel: A mértani sorozat első n elemének összege: , ha , illetve Sn = na1, ha q = 1.

Bizonyítás: , mivel a sorozat mértani:

(1)

Ha a fenti egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk q-val:

(2)

A második és az első egyenlet különbsége: (2) – (1) , azaz

Ha , akkor

Ha q = 1, akkor a sorozat konstans, így Sn = na1

Fibonacci-sorozat

Def.: Az f1 = 1, f2 = 1 és fn+1 = fn + fn-1 rekurzív képlettel megadott sorozatot Fibonacci-sorozatnak nevezzük.

A sorozat első néhány tagja: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …

Pl: Ha egy fa úgy terebélyesedik, hogy minden új ág a létrejöttét követő évben csak növekszik, ezután minden évben hajt egy új ágat, akkor az ágak számának évenkénti alkulása éppen a Fibonacci-sorozattal adható meg.

Alkalmazások

·         kamatos kamatszámítás

·         szaporulat kiszámítása

·         légszivattyú működtetése

·         oldatok hígítása

Találat: 2267