online kép - Fájl  tube fájl feltöltés file feltöltés - adja hozzá a fájlokat online fedezze fel a legújabb online dokumentumok Kapcsolat
   
 

Letöltheto dokumentumok, programok, törvények, tervezetek, javaslatok, egyéb hasznos információk, receptek - Fájl kiterjesztések - fajltube.com

 

Online dokumentumok - kep
   
kategória
 

Biológia állatok Fizikai Földrajz Kémia Matematika Növénytan Számítógépes
Filozófia
Gazdaság
Gyógyszer
Irodalom
Menedzsment
Receptek
Vegyes

 
 
 
 













































 
 

Matematika A1 vizsga elméleti kérdések

matematika

Fájl küldése e-mail Esszé Projekt


egyéb tételek

 
Vizsga matek
Matematika A1 vizsga elméleti kérdések
 
 

Matematika A1 vizsga elméleti kérdések

Definíciók

1. Peano-axiómák

A természetes számok halmazát (N) a Peano-axiómák segítségével definiáljuk.

1. r az N-nek N-re történő bijektív leképezése

2. A 0 nem eleme az r értékkészletének ()

3. ha  és  és  esetén , akkor



A rákövetk 121j97b ezés-függvény :

; 

2. Komplex számok n-edik gyökének meghatározása, áttérés algebrai alakról trigonometrikus alakra.

Komplex számok n-edik gyökének meghatározása trigonometrikus alakban célszerű. Az algebrai alak: , a trigonometrikus alak: .

Az áttérést algebrai alakról trigonometrikus alakra a Moivre-formulák segítségével végezzük:

; ;

Komplex szám n-edik gyökének meghatározása:

, ahol ;

A gyökök a komplex számsíkon egy origó középpontú,  sugarú körbe írt szabályos n-oldalú sokszög csúcsaiban helyezkednek el.

3. Valós számsorozat definíciója, legalább 3 nevezetes sorozat felsorolása és rövid jellemzésük.

Valós számsorozaton olyan függvényt értünk, melynek értelmezési tartománya a nemnegatív valós számok halmaza (N+), értékkészlete pedig a valós számok halmaza (R ).

- megadása lehet explicit (pl. ) vagy rekurzív (pl. )

Nevezetes sorozatok:

 ()

  • Ha q>1, a sorozat szigorúan monoton nő és divergens,
  • Ha q=1, a sorozat korlátos, konvergens:
  • Ha q<1, a sorozat szigorúan monoton csökken, korlátos, konvergens:

Bizonyítás: Bernoulli-egyenlőtlenség segítségével

()

            A sorozat korlátos és konvergens:

Bizonyítás: rendőr-elvvel

(  A sorozat korlátos , szigorúan monoton növekvő és konvergens:

4. Valós számsorozat határértéke (minden típusának megadása)

Egy valós számsorozat konvergens, ha esetén  küszöbszám, melyre  esetén . Ilyenkor az a valós számot a sorozat határértékének nevezzük.
Jelölése:  vagy .

Ha egy sorozatnak létezik véges határértéke, akkor konvergensnek, ha nem létezik, akkor divergensnek mondjuk.

Egy valós számsorozat végtelenhez divergál, ha  esetén  küszöbszám, melyre  esetén . Jelölése:  vagy .

Egy valós számsorozat a mínusz végtelenhez divergál, ha  esetén  küszöbszám, melyre  esetén . Jelölése:  vagy .

5. Függvény fogalma, értelmezési tartománya, értékkészlete

Ha A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük B halmaz pontosan egy elemét, akkor ezt a leképezést függvénynek nevezzük. Jelölése:

Az értelmezési tartomány azon elemek halmaza, melyekhez a függvény hozzárendel egy-egy elemet a B halmazból. Jele:

Az értékkészlet azon B-beli elemek halmaza, melyeket f ténylegesen hozzárendel A valamelyik eleméhez. Jele:

6. Egyváltozós valós-valós függvények határértéke

Cauchy-féle definíció:

Legyen az egyváltozós valós-valós f függvény () értelmezve az x0 pont valamely környezetében. Az f függvény határértéke x0 helyen létezik és értéke A akkor és csak akkor, ha  esetén úgy, hogy ha  akkor

Heine-féle definíció:

Legyen az egyváltozós valós-valós f függvény () értelmezve az x0 pont valamely környezetében. Az f függvény határértéke x0 helyen létezik és értéke A akkor és csak akkor, ha  valós számsorozatra, ahol  és , teljesül, hogy

7. Egyváltozós valós-valós függvény folytonossága

Legyen az egyváltozós valós-valós f függvény () értelmezve az x0 pont valamely környezetében. Az f függvényt x0 helyen folytonosnak nevezzük, ha  esetén úgy, hogy ha , akkor

8. Egyváltozós valós-valós függvény differenciálszámítása

Egy egyváltozós valós-valós függvény differenciálható (deriválható) az x0 pontban és differenciál-hányadosa (deriváltja) A akkor és csak akkor, ha a  határérték létezik és véges.

A definíció lineárisan megfogalmazva:

Legyen az egyváltozós valós-valós f függvény () értelmezve az x0 pont valamely környezetében. A függvény deriválható az x0 pontban akkor és csak akkor, ha  és  függvény úgy, hogy  és ha , akkor . Ilyenkor az A számot az f függvény x0 helyen vett differenciálhányadosának nevezzük.

9. Egyváltozós valós-valós függvény monotonitása, konvexitása

Az egyváltozós valós-valós f függvényt () az x0 helyen

a)      monoton növekvőnek

b)      szigorú monoton növekvőnek

c)      monoton csökkenőnek

d)      szigorú monoton csökkenőnek

nevezzük, ha x0 egy  sugarú környezetére () igaz, hogy  számokra



a)

b)

c)

d)

Legyen az egyváltozós valós-valós f függvény () x0 helyen deriválható, és x0  sugarú környezetében értelmezhető (). A függvényt x0 helyen

a)      konvexnek

b)      konkávnak

mondjuk, ha  esetén

a)

b)

10. Lokális szélsőérték és inflexiós pont definíciója

Az egyváltozós valós-valós f függvénynek () x0 helyen

a)      lokális minimuma

b)      lokális maximuma

van, ha x0-nak létezik egy olyan környezete, amelyre  esetén

a)

b)

Ha egy egyváltozós valós-valós f függvénynek () egy adott pontban létezik érintője, és ebben a pontban a függvény se nem lokálisan konvex, se nem lokálisan konkáv, akkor ezt a pontot a függvény inflexiós pontjának nevezzük.

11. Riemann szerinti integrálhatóság fogalma

Legyen az f egyváltozós valós-valós függvény () korlátos az  intervallumon. Az f függvény Riemann szerint integrálható az  intervallumon, ha az intervallum minden lehetséges  felosztásához tartozó alsó illetve felső integrálközelítő összegeinek ( és ) szuprémuma illetve infinuma megegyezik, vagyis ha .

;   

Az alsó integrálközelítő összeg: , ahol mi az f függvény minimuma  felosztás i-edik részintervallumán.

A felső integrálközelítő összeg: , ahol Mi az f függvény maximuma  felosztás i-edik részintervallumán.

12. Határozott integrál, primitív függvény

Ha egy egyváltozós valós-valós f függvény () Riemann-integrálható az  intervallumon, akkor az alsó és felső integrálközelítő összegeinek közös felső- illetve alsó korlátját (az számot, lsd előző pont) az f függvény  intervallumon vett határozott integráljának nevezzük. Jelölése:

Egy egyváltozós valós-valós f függvény () primitív függvényének nevezzük azt az F függvényt (), amely az értelmezési tartomány minden pontjában differenciálható, és  esetén

13. Improprius integrálok fő típusainak definíciói

Legyen adott egy egyváltozós valós-valós f függvény (), melyre minden  esetén   (). Ekkor az  kifejezést az f függvény improprius integráljának nevezzük, feltéve, ha a jobb oldalon álló határérték létezik és véges.

Hasonlóan értelmezzük az  improprius integrált is.

Legyen adott egy egyváltozós valós-valós f függvény (), melyre minden  esetén   (). Ekkor az  kifejezést az f függvény improprius integráljának nevezzük, feltéve, ha a jobb oldalon álló határérték létezik és véges.

Hasonlóan értelmezzük az   improprius integrált is.

Tételek

 

1.Bernoulli-egyenlőtlenség és legalább egy alkalmazása

Bernoulli-egyenlőtlenség: ;   (

Alkalmazási példa:

1.  () sorozat végtelenbe divergálásának bizonyítása. . A jobboldali kifejezés (Bernoulli-egyenlőtlenség segítségével adódik) monoton növekvő számtani sorozat, ami végtelenbe divergál, tehát az eredeti sorozat is. ()

2.   korlátosságának bizonyítása

2. Bolzano és Weierstrass tételei

Weierstrass-tétel: Legyen az f () függvény folytonos az  intervallumon (), ekkor létezik olyan  úgy, hogy  esetén

Bolzano-tétel:  Legyen az f függvény folytonos az  intervallumon (), ekkor a függvény felveszi az  és  közötti összes értéket.

3. Inverz függvény differenciálási szabálya

Legyen az f () függvény deriválható az  pontban és invertálható az a pont környezetében. Tegyük fel, hogy . Ekkor ebben a környezetben az inverz függvény ( differenciálható, és    (, )

Más alakban:

4. Az összetett függvény differenciálási szabálya

Adottak f és g () függvények (). Legyen f függvény deriválható az  pontban, g pedig deriválható az x0 pontban. Ekkor az  összetett függvény is deriválható az x0 pontban (láncszabály):


Más alakban:

5. Rolle tétele és egy példa az alkalmazására

Rolle-féle középértéktétel: Legyen az f  () függvény differenciálható az  intervallumon, és . Ekkor  úgy, hogy

Geometriai jelentése: Az intervallumon létezik olyan pont, ahol a függvény érintője párhuzamos az x tengellyel.

Alkalmazási példa: a Cauchy-féle középértéktétel bizonyítása

6. Lagrange-féle középértéktétel

Legyen az f  () függvény differenciálható az  intervallumon. Ekkor  úgy, hogy

Geometriai jelentése: Ha  és , akkor az intervallumon létezik olyan pont, ahol a függvény érintője párhuzamos az AB húrral.

7. Cauchy-féle középértéktétel

Legyenek az f és g () függvények deriválhatók az  intervallumon és tegyük fel, hogy  ; esetén. Ekkor  úgy, hogy

8. Lokális szélsőérték létezésének elégséges feltétele

Legyen az f  () függvény differenciálható az  intervallumon és a  helyen . Ha  esetén  és  esetén , akkor az f függvénynek  helyen lokális maximuma van.

Ha a tételben a két relációjelet megfordítjuk, a lokális minimum létezésének elégséges feltételét kapjuk.

9. Lokális konvexitás elégséges feltétele

Legyen az f  () függvény legalább kétszer differenciálható az x0 pontban és annak egy környezetében. Ekkor ha , akkor az f függvény x0 pontban konvex, ha pedig , akkor konkáv.

10. Az inflexiós pont létezésének elégséges feltétele

Legyen az f  () függvény legalább kétszer differenciálható az x0 pontban és annak egy környezetében, továbbá . Ekkor ha  az x0 helyen előjelet vált, akkor az f függvénynek x0 helyen inflexiós pontja van.

11. Bernoulli-L’Hospital szabály

Legyenek az f és g () függvények differenciálhatók az x0 pont egy környezetében, továbbá  valamint . Ekkor , amennyiben ez utóbbi határérték létezik és véges, vagy .

Megjegyzések:

  1. A tétel  esetben is érvényes
  2. A tételben x0 helyett  is állhat

12. Newton-Leibniz szabály

Legyen az f  () függvény integrálható, az F () függvény pedig folytonos az  intervallumon és differenciálható az  intervallumon, továbbá  esetén . Ekkor

13. Helyettesítéses és parciális integrálás elve

Helyettesítéses integrálás:

Legyen az  () függvény differenciálható a K intervallumon, továbbá létezik az f(x) () függvénynek a  intervallumon primitív függvénye:  (. Ekkor  függvénynek is létezik primitív függvénye:

Parciális integrálás:

Legyenek f és g () differenciálható függvények H halmazon, valamint -nak létezik itt primitív függvénye. Ekkor

Határozott integrállal: Legyenek  és  függvények integrálhatók  intervallumon. Ekkor   

14. Ívhossz, forgástest térfogat, forgástest palást, szektorterület kiszámítása

Ívhossz kiszámítása: Legyen az f függvény () folytonos és integrálható az  intervallumon. Legyen  és . Ekkor az AB ív hossza: ;

Paraméteresen adott függvény esetén ():

Forgástest térfogatának kiszámítása: Legyen az f függvény () folytonos és integrálható az  intervallumon. Forgassuk meg a függvény görbéjét az x tengely körül. Az így kapott forgástest térfogata:

Forgástest palástterületének kiszámítása: Legyen az f függvény () folytonos és integrálható az  intervallumon. Forgassuk meg a függvény görbéjét az x tengely körül. Az így kapott forgástest palástjának területe: ;

Paraméteresen adott függvény esetén:

Szektorterület kiszámítása: Legyen az r polárkoordinátákkal megadott függvény () folytonos és integrálható az  intervallumon. Legyen  és , O pedig az origó. Ekkor ABO szektor területe:


: 2618