Egybevagósagi transzformaciók, szimmetrikus sokszögek.

Egybevágósági transzformációk, szimmetrikus sokszögek.

Egybevágósági transzformációk

Def.: A geometriai transzformációk olyan függvények, melyeknek az értelmezési tartománya és értékkészlete is ponthalmaz.

Def.: Távolságtartó( egybevágósági ) transzformáció: bármely szakasz képem az eredetivel megegyező hosszúságú szakasz.

Def.: távolsági ( egybevágósági transzformációknak nevezzük azokat a transzformációkat, melyek esetén bármely szakasz képének hossza egyenlő az eredeti szaka 212h75c sz hosszával.

Négy egybevágósági transzformációt különböztetünk meg:

Tengelyes tükrözés

Középpontos tükrözés

Elforgatás

Eltolás

Tengelyes tükrözés

Adott a sík egy "t" egyenese, a tükrözés tengelye. A tengelyen levő pont képe önmaga. Ha a "P"pont nem illeszkedik a tengelyre, akkor a képe az a P' pont, amelyre a PP' szakasz felezőegyenese a t tengely.

Tulajdonságai:

Távolságtartó

Egyenestartó

Szögtartó

Kölcsönösen egyértelmű

A pont képének a képe ugyanaz a pont

A körüljárás iránya megváltozik

Fix pontok: a tengely pontjai

Fix egyenes: a tengely

Invariáns egyenes a tengelyre merőleges egyenes

Egyenes és képe ugyanabban a pontban metszik a tengelyt

Egyenes és képe ugyanakkora szöget zárnak be a tengellyel

Ha két egyenest úgy veszünk fel a síkon, hogy egymásra merőlegesek legyenek, és egy alakzatot ezekre az egyenesekre rendre tükrözzük, akkor az alakzat képe megegyezik azzal az alakzattal, melyet úgy kapunk, hogy az eredeti alakzatot középpontosan tükrözzük a két egyenes metszéspontjára.

Középpontos tükrözés

Adott a sík egy "O" pontja, a tükrözés középpontja. Az O pont képe önmaga. O-tól különböző P pont képe az a P' pont, amelyre a PP' szakasz felezőpontja az O pont.

Tulajdonságai:

Távolságtartó

Egyenestartó

Szögtartó

Kölcsönösen egyértelmű

A körüljárás irányát megtartja

Fix pont: a tükrözés középpontja

Fix egyenes: nincs

Invariáns egyenes: minden, az O ponton átmenő egyenes

Ha az egyenes nem illeszkedik az O pontra, akkor az egyenes és képe párhuzamosak egymással

Ha két egyenest úgy veszünk fel a síkon, hogy párhuzamosak legyenek egymással és ezen egyenesekre rendre tükrözünk egy alakzatot, akkor a keletkezett alakzat megegyezik azzal az alakzattal, melyet úgy kapunk, hogy az eredeti alakzatot (a két egyenes közti távolság=d) d abszolútértékű vektorral eltoljuk, mely vektor iránya merőleges az egyenesekre.

Eltolás

Adott egy v vektor. A v vektorral való eltolás a tér egy P pontjához azt a P' pontot rendeli, amelyre PP' vektor egyenlő v vektorral.

Tulajdonságai:

Távolságtartó

Egyenestartó

Szögtartó

Kölcsönösen egyértelmű

A körüljárás irányát megtartja

Fix pont nincs, kivéve, ha a vektor nullvektor, ilyenkor minden pont fix

Fix egyenes nincs

Invariáns egyenes a vektorral párhuzamos egyenes

Egyenes és képem egymással párhuzamos

Ha két egyenest úgy veszünk fel a síkon, hogy metsszék egymást és α szög a hajlásszögük és egy alakzatot rendre tükrözünk a két egyenesre, akkor a keletkezett alakzat megegyezik azzal az alakzattal, melyet úgy kapunk, hogy az eredeti alakzatot a két egyenes metszéspontja körül 2α szöggel forgatjuk el.

Elforgatás

Adott a sík egy O pontja, egy α szög és egy forgásirány. Az O pont körüli α szögű, adott irányú elforgatás a sík tetszőleges O pontjától különböző P pontjához azt a P' pontot rendeli, amelyre teljesül, hogy a POP' szög nagyság és irány szerint megegyezik az α szöggel. Az O pont képe önmaga. Az OP=OP'   és O=O'.

Tulajdonságai:

Távolságtartó

Egyenestartó

Szögtartó

A körüljárás iránya változatlan marad

Invariáns egyenes nincs, kivéve, ha α=180o

Fix egyenes nincs, kivéve, ha α= 0o vagy 360o

Fix pont az O pont, ha az elforgatás szöge 360o vagy 0o, akkor minden pont fix

Kölcsönösen egyértelmű

Ha a forgatás szöge nem nagyobb, mint 90o, akkor bármely egyenes és képe által bezárt szög megegyezik az elforgatás szögével

Minden kör fix alakzat, ha a forgatás centruma a kör középpontja is

Minden n oldalú szabályos sokszög fix alakzat, ha a sokszög középpontja a forgatás centruma és az elforgatás szöge 360o/n vagy ennek többszöröse

Def.: Két vagy több transzformáció egymás utáni elvégzését a transzformációk szorzatának nevezzük. Ez a művelet általában nem kommutatív.

Alakzatok egybevágósága

 Két háromszög egybevágó, ha

két oldaluk hossza és a két adott oldal által bezárt szög megegyezik

oldalaik hossza rendre megegyeznek

két oldaluk hossza és a nagyobbikkal szemközti szög megegyezik

egy oldaluk hossza és a rajta levő két szög megegyezik

Két sokszög egybevágó, ha

oldalaik hossza és szögeik rendre megegyeznek

oldalaik és átlóik hossza rendre megegyezik

Szimmetrikus sokszögek

Tengelyesen szimmetrikus sokszögek

Def.: Egy alakzatot tengelyesen szimmetrikusnak mondunk, ha létezik olyan tengelyes tükrözés, amely az alakzatot önmagába viszi. (Azaz, amelynél az alakzat képe önmaga.)

Tengelyesen szimmetrikus sokszögek:

a háromszögek közül az egyenlőszárú háromszögek (Az alap felezőmerőlegesére szimmetrikus.)

a négyszögek közül a deltoidok (Az egyik átlóegyenesére szimmetrikus.) és a húrtrapéz (Az alapjai felezőmerőlegesére szimmetrikus.)

a szabályos n-szögek (Az oldalai felezőmerőlegeseire, illetve páros oldalszám esetén a szemközti csúcsok átlóegyeneseire is szimmetrikus. Összesen n db szimmetriatengelye van.)

Középpontosan szimmetrikus sokszögek

Def.: Egy alakzatot középpontosan szimmetrikusnak mondunk, ha létezik olyan középpontos tükrözés, amely az alakzatot önmagába viszi. (Azaz, amelynél az alakzat képe önmaga.)

Középpontosan szimmetrikus sokszögek:

nincsen középpontosan szimmetrikus háromszög

a négyszögek közül a paralelogrammák (Az átlók metszéspontjára szimmetrikus.)

a szabályos n-szögek közül a páros oldalszámúak (A köré írt kör középpontjára = a sokszög középpontjára szimmetrikus.)

Forgásszimmetrikus sokszögek

Def.: Egy alakzatot forgásszimmetrikusnak mondunk, ha létezik olyan forgatás, amely az alakzatot önmagába viszi. (Azaz, amelynél az alakzat képe önmaga.)

A középpontos tükrözés az 180°-os forgatás, így az összes középpontosan szimmetrikus sokszög forgásszimmetrikus is. További forgásszimmetrikus sokszögek:

a szabályos n-szögek (A középpontja körüli  (k egész szám) forgatásra.)

Alkalmazások

Kör kerületének, illetve területének meghatározása a körbe, illetve a kör köré írt szabályos sokszögek kerületének és területének segítségével törtéhet (kétoldali közelítés). Ez egyben módszer a p meghatározására is.

Szabályos ötszög szerkesztése - aranymetszés

Parkettázások - A sík lefedhető szabályos három- négy, illetve hatszögekkel.

Ezek az alakzatok széleskörűen használhatók formatervezésnél, művészetekben stb.