online kép - Fájl  tube fájl feltöltés file feltöltés - adja hozzá a fájlokat online fedezze fel a legújabb online dokumentumok Kapcsolat
   
 

Letöltheto dokumentumok, programok, törvények, tervezetek, javaslatok, egyéb hasznos információk, receptek - Fájl kiterjesztések - fajltube.com

 

Online dokumentumok - kep
   
kategória
 

Biológia állatok Fizikai Földrajz Kémia Matematika Növénytan Számítógépes
Filozófia
Gazdaság
Gyógyszer
Irodalom
Menedzsment
Receptek
Vegyes

 
 
 
 













































 
 

Egybevagósagi transzformaciók, szimmetrikus sokszögek.

matematika

Fájl küldése e-mail Esszé Projekt


egyéb tételek

 
Vizsga matek
Matematika A1 vizsga elméleti kérdések
Relaciós algebra, relaciós teljesség
MATEMATIKA KÖZÉPSZINT
Konverzió A Szamrendszerek Között
Egybevagósagi transzformaciók, szimmetrikus sokszögek.
 
 

Egybevágósági transzformációk, szimmetrikus sokszögek.

Egybevágósági transzformációk

Def.: A geometriai transzformációk olyan függvények, melyeknek az értelmezési tartománya és értékkészlete is ponthalmaz.

Def.: Távolságtartó( egybevágósági ) transzformáció: bármely szakasz képem az eredetivel megegyező hosszúságú szakasz.

Def.: távolsági ( egybevágósági transzformációknak nevezzük azokat a transzformációkat, melyek esetén bármely szakasz képének hossza egyenlő az eredeti szaka 212h75c sz hosszával.

Négy egybevágósági transzformációt különböztetünk meg:

·         Tengelyes tükrözés

·         Középpontos tükrözés


·         Elforgatás

·         Eltolás

Tengelyes tükrözés

Adott a sík egy „t” egyenese, a tükrözés tengelye. A tengelyen levő pont képe önmaga. Ha a „P”pont nem illeszkedik a tengelyre, akkor a képe az a P’ pont, amelyre a PP’ szakasz felezőegyenese a t tengely.

 

Tulajdonságai:

·         Távolságtartó

·         Egyenestartó

·         Szögtartó

·         Kölcsönösen egyértelmű

·         A pont képének a képe ugyanaz a pont

·         A körüljárás iránya megváltozik

·         Fix pontok: a tengely pontjai

·         Fix egyenes: a tengely

·         Invariáns egyenes a tengelyre merőleges egyenes

·         Egyenes és képe ugyanabban a pontban metszik a tengelyt

·         Egyenes és képe ugyanakkora szöget zárnak be a tengellyel

 

Ha két egyenest úgy veszünk fel a síkon, hogy egymásra merőlegesek legyenek, és egy alakzatot ezekre az egyenesekre rendre tükrözzük, akkor az alakzat képe megegyezik azzal az alakzattal, melyet úgy kapunk, hogy az eredeti alakzatot középpontosan tükrözzük a két egyenes metszéspontjára.

 

Középpontos tükrözés

Adott a sík egy „O” pontja, a tükrözés középpontja. Az O pont képe önmaga. O-tól különböző P pont képe az a P’ pont, amelyre a PP’ szakasz felezőpontja az O pont.

 

Tulajdonságai:

·         Távolságtartó

·         Egyenestartó

·         Szögtartó

·         Kölcsönösen egyértelmű

·         A körüljárás irányát megtartja

·         Fix pont: a tükrözés középpontja

·         Fix egyenes: nincs

·         Invariáns egyenes: minden, az O ponton átmenő egyenes

·         Ha az egyenes nem illeszkedik az O pontra, akkor az egyenes és képe párhuzamosak egymással

 

Ha két egyenest úgy veszünk fel a síkon, hogy párhuzamosak legyenek egymással és ezen egyenesekre rendre tükrözünk egy alakzatot, akkor a keletkezett alakzat megegyezik azzal az alakzattal, melyet úgy kapunk, hogy az eredeti alakzatot (a két egyenes közti távolság=d) d abszolútértékű vektorral eltoljuk, mely vektor iránya merőleges az egyenesekre.

 

Eltolás

Adott egy v vektor. A v vektorral való eltolás a tér egy P pontjához azt a P’ pontot rendeli, amelyre PP’ vektor egyenlő v vektorral.

 

Tulajdonságai:

·         Távolságtartó

·         Egyenestartó

·         Szögtartó

·         Kölcsönösen egyértelmű

·         A körüljárás irányát megtartja

·         Fix pont nincs, kivéve, ha a vektor nullvektor, ilyenkor minden pont fix

·         Fix egyenes nincs

·         Invariáns egyenes a vektorral párhuzamos egyenes

·         Egyenes és képem egymással párhuzamos

 

Ha két egyenest úgy veszünk fel a síkon, hogy metsszék egymást és α szög a hajlásszögük és egy alakzatot rendre tükrözünk a két egyenesre, akkor a keletkezett alakzat megegyezik azzal az alakzattal, melyet úgy kapunk, hogy az eredeti alakzatot a két egyenes metszéspontja körül 2α szöggel forgatjuk el.

 

Elforgatás

Adott a sík egy O pontja, egy α szög és egy forgásirány. Az O pont körüli α szögű, adott irányú elforgatás a sík tetszőleges O pontjától különböző P pontjához azt a P’ pontot rendeli, amelyre teljesül, hogy a POP’ szög nagyság és irány szerint megegyezik az α szöggel. Az O pont képe önmaga. Az OP=OP’   és O=O’.

 

Tulajdonságai:

·         Távolságtartó



·         Egyenestartó

·         Szögtartó

·         A körüljárás iránya változatlan marad

·         Invariáns egyenes nincs, kivéve, ha α=180o

·         Fix egyenes nincs, kivéve, ha α= 0o vagy 360o

·         Fix pont az O pont, ha az elforgatás szöge 360o vagy 0o, akkor minden pont fix

·         Kölcsönösen egyértelmű

·         Ha a forgatás szöge nem nagyobb, mint 90o, akkor bármely egyenes és képe által bezárt szög megegyezik az elforgatás szögével

·         Minden kör fix alakzat, ha a forgatás centruma a kör középpontja is

·         Minden n oldalú szabályos sokszög fix alakzat, ha a sokszög középpontja a forgatás centruma és az elforgatás szöge 360o/n vagy ennek többszöröse

 

Def.: Két vagy több transzformáció egymás utáni elvégzését a transzformációk szorzatának nevezzük. Ez a művelet általában nem kommutatív.

 

Alakzatok egybevágósága

 Két háromszög egybevágó, ha

·         két oldaluk hossza és a két adott oldal által bezárt szög megegyezik

·         oldalaik hossza rendre megegyeznek

·         két oldaluk hossza és a nagyobbikkal szemközti szög megegyezik

·         egy oldaluk hossza és a rajta levő két szög megegyezik

Két sokszög egybevágó, ha

·         oldalaik hossza és szögeik rendre megegyeznek

·         oldalaik és átlóik hossza rendre megegyezik

 

Szimmetrikus sokszögek

Tengelyesen szimmetrikus sokszögek

Def.: Egy alakzatot tengelyesen szimmetrikusnak mondunk, ha létezik olyan tengelyes tükrözés, amely az alakzatot önmagába viszi. (Azaz, amelynél az alakzat képe önmaga.)

Tengelyesen szimmetrikus sokszögek:

·         a háromszögek közül az egyenlőszárú háromszögek (Az alap felezőmerőlegesére szimmetrikus.)

·         a négyszögek közül a deltoidok (Az egyik átlóegyenesére szimmetrikus.) és a húrtrapéz (Az alapjai felezőmerőlegesére szimmetrikus.)

·         a szabályos n-szögek (Az oldalai felezőmerőlegeseire, illetve páros oldalszám esetén a szemközti csúcsok átlóegyeneseire is szimmetrikus. Összesen n db szimmetriatengelye van.)

Középpontosan szimmetrikus sokszögek

Def.: Egy alakzatot középpontosan szimmetrikusnak mondunk, ha létezik olyan középpontos tükrözés, amely az alakzatot önmagába viszi. (Azaz, amelynél az alakzat képe önmaga.)

Középpontosan szimmetrikus sokszögek:

·         nincsen középpontosan szimmetrikus háromszög

·         a négyszögek közül a paralelogrammák (Az átlók metszéspontjára szimmetrikus.)

·         a szabályos n-szögek közül a páros oldalszámúak (A köré írt kör középpontjára = a sokszög középpontjára szimmetrikus.)

Forgásszimmetrikus sokszögek

Def.: Egy alakzatot forgásszimmetrikusnak mondunk, ha létezik olyan forgatás, amely az alakzatot önmagába viszi. (Azaz, amelynél az alakzat képe önmaga.)

A középpontos tükrözés az 180°-os forgatás, így az összes középpontosan szimmetrikus sokszög forgásszimmetrikus is. További forgásszimmetrikus sokszögek:

·         a szabályos n-szögek (A középpontja körüli  (k egész szám) forgatásra.)

Alkalmazások

·         Kör kerületének, illetve területének meghatározása a körbe, illetve a kör köré írt szabályos sokszögek kerületének és területének segítségével törtéhet (kétoldali közelítés). Ez egyben módszer a p meghatározására is.

·         Szabályos ötszög szerkesztése – aranymetszés

·         Parkettázások – A sík lefedhető szabályos három- négy, illetve hatszögekkel.

·         Ezek az alakzatok széleskörűen használhatók formatervezésnél, művészetekben stb.

Találat: 2375